无穷多的质数

质数的分布规律，一直是数论中的一个重要课题，也是从古到今诸多数学家们所醉心研究的问题之一。

在人们已经发现的规律中，有质数定理、伯特兰-切比雪夫定理和狄利克雷定理等已经得到证明的规律，也有勒让德猜想、梅森猜想、孪生质数猜想、哥德巴赫猜想和黎曼猜想这些人们尚未完全掌握的问题。

在这篇短文中，我们仅对狄利克雷定理的一些特例作出初步的探寻，所涉及的内容不超过初中数学范畴。

首先，质数的个数是无穷多的。

这个规律不难通过朴素的思想所得到，对它的证明也早在古希腊时代就找到了巧妙的方法。欧几里德在《几何原本》中，通过构造特例、用反证法证明了质数的这个规律。

建立原命题的反命题：假设质数的个数是有限的，p是其中最大的一个质数。

构造特例：将所有的质数相乘，加上1，得到一个数N = 2×3×5×7×…p+1。

推出矛盾：将N分别对2, 3, 5, 7, …, p取余，可知N ≡ 1 (mod 2, 3, 5, 7, …, p)；换句话说，N不能被其中任一质数整除，同时易知N > p，所以N是一个比p大的质数。这个推论与p是所有质数中最大的一个相矛盾。

原命题得证：所以，质数的个数是无穷多的。

其次，因为2是唯一的偶质数，所以从质数的个数有无穷多个可以得出，奇质数的个数也是无穷多个的。即，对于k为正整数，形如2k+1的质数有无穷多个。

这里，奇质数集合是奇数集合{2k+1}的一个真子集，两个集合都有无穷多个元素。

任一正整数都可以表示成为3k，3k+1或者3k+2的形式之一，其中，当k > 1时，3k必然不是质数。所以下面，我们分别来讨论一下3k+2和3k+1两种形式的质数的个数。

对于正整数m和n，(3m + 1)(3n + 1) = 3(3mn + m + n) + 1，因此，若干个形如3k+1的整数相乘，最后得到的乘积一定是一个形如3k+1的整数。换句话说，不可能通过将若干个形如3k+1的整数相乘得到一个形如3k+2的整数。再换句话说，一个形如3k+2的合数必然至少有一个形如3k+2的质因数（引理I），因为只靠形如3k+1的因数相乘是无法得到形如3k+2的整数的。

假设形如3k+2的质数的个数为有限个，其中最大的一个质数为3m+2。我们将所有形如3k+2的质数相乘，构造N = 5×11×17×23×…(3m+2)。显然，N不是3的倍数，它要么是3k+1的形式，要么是3k+2的形式。

如果N是3k+1的形式，那么N+1就是3k+2的形式。因为N+1除以任何一个形如3k+2的质因数的余数为1，所以它没有任何形如3k+2的质因子。根据引理I，N+1是一个形如3k+2的质数。

如果N是3k+2的形式，那么N+3也是3k+2的形式。因为N+3除以任何一个形如3k+2的质因数的余数为3，所以它没有任何形如3k+2的质因子。根据引理I，N+3是一个形如3k+2的质数。

不论是以上哪种情况，都说明存在一个比3m+2还要大的形如3k+2的质数，与假设矛盾。

所以，形如3k+2的质数有无穷多个。

能不能用类似的做法来证明形如3k+1的质数也有无穷多个呢？

答案是否定的，要证明形如3k+1的质数也有无穷多个需要更加高等的数学知识。这是因为对于正整数m和n，(3m + 2)(3n + 2) = 3(3mn + 2m + 2n + 1) + 1，因此，偶数个形如3k+2的整数相乘，最后得到的乘积是一个形如3k+1的整数。

这样类似地，虽然我们可以构造出某个形如3k+1的整数N，尽管它和假设的所有形如3k+1的质数相质，但它仍然可能是偶数个形如3k+2的整数的乘积，从而无法得出它是一个质数的结论，无法推导出矛盾来。

再来看看系数为4的情况。任一正整数都可以表示成为4k，4k+1，4k+2或者4k+3的形式之一，其中，4k和4k+2两种形式必然不是质数。所以，我们只需讨论一下4k+2和4k+3两种形式的质数的个数。

类似于系数为3的情况，先考虑一下两种形式的整数相乘的结果。

对于正整数m和n，(4m + 1)(4n + 1) = 4(4mn + m + n) + 1，因此，若干个形如4k+1的整数相乘，最后得到的乘积一定是一个形如4k+1的整数。于是类似地我们可以得到引理II：一个形如4k+3的合数必然至少有一个形如4k+3的质因数，因为只靠形如4k+1的因数相乘是无法得到形如4k+3的整数的。

依样画葫芦，可以假设形如4k+3的质数的个数为有限个，其中最大的一个质数为4m+3。将所有形如4m+3的质数相乘，构造N = 7×11×19×23×…(4m+3)。显然，N是个奇数，它要么是4k+1的形式，要么是4k+3的形式。

如果N是4k+1的形式，那么N+2就是4k+3的形式。因为N+2没有任何一个形如4k+3的质因子，根据引理II，N+2是一个形如4k+3的质数。

如果N是4k+3的形式，那么N+4也是4k+3的形式。因为N+4没有任何一个形如4k+3的质因子，根据引理II，N+3是一个形如4k+3的质数。

不论是以上哪种情况，都说明存在一个比4m+3还要大的形如4k+3的质数，与假设矛盾。

所以，形如4k+3的质数有无穷多个。

对于正整数m和n，(4m + 3)(4n + 3) = 4(4mn + 3m + 3n + 2) + 1，因此一个形如4k+1的整数可以是偶数个形如4k+3的整数的乘积，那么证明形如4k+1的质数有无穷多个是否也变得十分艰难？

为了解决这个问题，我们确实需要另一种思路，即证明：对于形如n²+1的整数，其奇质因子必然是4k+1形式的（引理III）。

类似于前面的分析，对于系数为4的线性形式，可知奇数质因子要么形如4k+1，要么形如4k+3。

假设n²+1有质因子p = 4m+3，因为p|n²+1，所以n² ≡ -1 (mod p)，(n²)^2m+1 ≡ (-1)^2m+1 (mod p)，n^4m+2 ≡ -1 (mod p)，即n^p-1 ≡ -1 (mod p)。

同时，因为n和p互质，根据费马小定理有，n^p-1 ≡ 1 (mod p)，因为p ≠ 2，得出矛盾。

因此，作为奇数，n²+1不可能有形如4k+3的奇质因子，所以，n²+1的所有奇质因子必然都是4k+1的形式。

接下来，“故伎重演”。

假设形如4k+1的质数的个数为有限个，其最大的一个为4m+1，构造N = [2×5×13×17×…(4m+1)]² + 1，显然N和5, 13, 17, …, 4m+1所有这些形如4k+1的质数互质；但N又是形如n²+1的整数，根据我们前面证明的引理III，N必然有形如4k+1的质因子，得出矛盾。

因此，形如4k+1的质数有无穷多个。

以上，我们证明了形如2k+1、3k+2、4k+1、4k+3的质数有无穷多个，有兴趣的朋友可以试试证明形如5k+4、6k+5的质数也有无穷多个。

事实上，对于ak+b这样的整系数线性形式，如果a和b互质，那么形如ak+b的质数有无穷多个。换句话说，以ak+b为通项公式的等差数列中存在着无穷多个质数。这就是狄利克雷（Dirichlet）定理。

关于狄利克雷定理的证明需要非常复杂的数学知识，不在本文讨论之列。作为总结，我们可以从欧几里德的证明出发，学习构造特例在反证法中的应用，这一技巧也普遍适用于对其它数学问题的解法。

懂数学的音乐家才是生命力顽强的昆虫

那一年，唐纳德·川普还在CNN上为民主党摇旗呐喊，巴拉克·奥巴马还是一个默默无闻的州议员，约翰·克里正在为登上总统宝座而四处奔走。巨大草坪上的支持者们正在等候着这位民主党候选人的竞选演讲，不过，在克里出现之前，他们等来的是一群呱噪的“音乐家”。

没错，它们就是“不可语冰”的蝉。只不过，这一次它们并不满足于挂在树上遥相呼应，而是成群结队地飞上草坪的上空，轰鸣着从人们的头顶掠过，似乎它们才是这个国家的真正主宰。

这种蝉的学名叫做Brood X （10号群），和普通的蝉不同，它们是一种周期蝉（Periodical cicadas, Magicicada）——每隔17年，数十亿只Brood X才从地下巢穴里爬出来，展开翅膀，席卷美国东部地区。

今年，共和党的前总统川普已经离任，奥巴马写的回忆录大卖，克里则变成了拜登的气候问题特使。在高温和雨水的帮助下，数十亿只Brood X再一次从地下涌出，爬上枝头振翅而鸣，提醒着从田纳西到纽约的居民们：沧海桑田之下，它们才是唯一不变的永恒。

这些周期蝉为什么要蛰伏在地下多年？它们蛰伏的周期为什么是17年而不是16年或者更短时间？

普通的蝉幼年期生活在土中，等到春天，它们就爬出地面，顺着树干往上爬，然后抓住树皮，吸食养分；到了初夏，这些蝉蜕去蝉壳，长出翅膀，变成成虫，在树枝上高歌求偶。周期蝉则不一样，它们的幼虫要在地下生活若干年，根据品种的不同，这个时间可能是3年，可能是5年，也可能是13年或者17年。这些数字有一个共同点，它们都是质数。

据马里兰大学的教授迈克尔·劳普介绍，周期蝉的长时间蛰伏，以及以质数为蛰伏年数的特点，都是它们在长期进化过程中形成的生存策略。

首先，周期蝉最早出现于180万年前，那时的北美气温较低，而成年蝉需要较高的温度才能成活，所以周期蝉逐渐适应了较长时间在地下的生活，等到气候条件合适才爬出地面。

其次，周期蝉按照一定的周期、而不是每年都爬出地面，还因为所谓的捕食者饱和效应（predator satiation）。捕食者饱和效应，简单来说，就是猎物以极大数目群体出现，使得它的天敌和其它捕食者食物饱和，从而必然有一部分猎物可以从自然界的食物链上逃逸生存，继续繁衍下一代。周期蝉若干年才爬出地面一次，每次爬出数量都是惊人的几十亿只，所以即便碰到天敌，也不可能一下子被全吃光。如果周期蝉和普通蝉一样，也是一年出现一次，每次数量都较少，那么这些蝉很有可能碰到异常的气候被冻死，或者碰到饥肠辘辘的天敌被吃掉，整个物种遭到灭绝的概率就要大很多。

第三，这个周期为什么是质数？

不得不说这是奇妙的，我不好说这个数字来自于长期的自然选择，抑或是拨动地球旋转的那只手，但在数学上，质数的周期一定可以进一步提高周期蝉的生存概率。

假设周期蝉有两种天敌X和Y，每种天敌的物种规模都有着自己的周期性，即我们口头上常说的“大小年”。假设天敌X的物种规模周期为3年，天敌Y的物种规模周期为4年，也就是说每隔3年，天敌X的数量就达到一次高峰；每隔4年，天敌Y的数量也到达一次高峰。

假设周期蝉的蛰伏周期为16年，那么如果不巧的话，它们每次都会碰到天敌Y的“大年”，从而被吃掉更多。假设周期蝉的蛰伏周期为12年，那么它们的命运将更悲惨——它们不仅可能每次都碰到天敌Y的大年，还可能每次都同时碰到天敌X的大年。这可是很可能被一次性KO团灭的节奏啊！

现在，周期蝉的蛰伏周期为17年，哪怕不巧碰到了一次天敌的大年，但下一次爬出地面时一定不会再次碰到这个天敌的大年，因为17是质数，不能被3或者4整除。理论上，蛰伏周期为17年的周期蝉碰到天敌X的大年，需要17 × 3 = 51年才出现一次，碰到天敌Y的大年需要17 × 4 = 68年，而同时碰到两种天敌的大年则需要漫长的17 × 3 × 4 = 204年！

孟菲斯大学的学者曾经对周期蝉遭遇冷夏的情形进行过模拟，假设在1500年的时间中，每过50年就会出现一次气温很低的夏天，那么蛰伏周期为17年的周期蝉的存活率仍然有96%，蛰伏周期为11年的周期蝉存活率降到了51%，而蛰伏周期为7年的周期蝉的存活率将只有7%。

还剩下一个未解之谜，那就是周期蝉的计时方法。

17年，对于人类来说都是一个漫长的时间，更何况地下巢穴中暗无天日，无法知道日升日落、寒来暑往，这些蝉如何能够准确地计算出已过17年、而且在几天之内不约而同地钻出地面呢？对此科学家有不同的猜测，有人认为周期蝉是通过冬眠的次数来计数的，还有人认为周期蝉利用了树根汁液中不同的化学成分，或者是土壤的温度变化。

从2004年到2021年，Brood X如期而至，下一次再看到这些聪明的昆虫们将是2038年。

不过，有迹象表明其它群落的周期蝉已经开始出现周期紊乱，因为气候变化、土壤温度变高，这些群落中有部分周期蝉提早离开了地面。

所以，光懂得数学还不够，如果没有掌握气候变化，这些音乐家们恐怕将碰到大麻烦。