文化 – Sqr5's blog

饼日论道——是不是该用τ来取代π？

March 14, 2024March 14, 2024 Athlon_BELeave a comment

今天是3月14日，著名的“饼日”，Pi (π) Day。

无数数学极客把这一天当作数学狂欢节，正因为Pi Day有着广泛的群众基础，不仅美国国会在2009年就通过决议、将每年的3月14日定为“圆周率日”，而且国际教科文组织（UNESCO）也在2019年决定将这一天定为“国际数学日”。

然而，在大家乐于吃饼的同时，有一群人则表示了自己不同的意见，他们认为：在数学中使用π这个常量是否正确，这个问题还需要说“道”说“道”。

根据这些数学“异教徒”的观点，π的计算没有任何问题，它是一个精确的无限不循环小数；问题在于是否应该在数学中使用π。因为根据《Tau的宣言》（The Tau Manifesto），将π用于圆的常数是一个不够自然且令人困惑的选择。更自然的做法，应该更多地使用τ来作为圆周率常数。

在本文中，我将希腊字母τ翻译成“套”或者“道”，大多出于取其双关语的目的。

τ是什么？π是圆的周长与其直径的比例，而τ则被定义为圆的周长与其半径的比例。很显然，τ也是一个常数，它是π的2倍。

《Tau的宣言》的作者是毕业于加州理工学院的理论物理学博士迈克尔·哈特尔（Michael Hartl），他并不是第一个质疑π的使用的人。“道教”信徒公认的教派创始人是犹他大学的数学教授鲍勃·帕莱（Bob Palais），他在2001年发表了一篇名为《π是错误的！》文章，认为“π 其实只是一个冒牌货，真正值得大家敬畏和赞赏的，其实应该是一个不幸被我们称作 2π 的数”。

2012年，麻省理工大学悄然更新了自己的做法：虽然仍然保留3月14日作为发放录取通知书的日子，但进一步，录取邮件将在下午6点28分发出。这样，在MIT的极客教师眼中，τ取得了和π同等的地位。

“道教”的观点非常鲜明。根据欧几里得的《几何原本》，在同一平面内到定点O的距离等于定长R的点的集合。此定点O称为圆心，此定长R称为半径。在这个定义中，我们使用半径而不是直径来定义一个圆，因此圆周率这个常量比例也应该被定义为圆的周长与其半径之比，即τ，而不是π。

同时，不仅仅在几何学中，而且在那些诸如傅里叶变换、黎曼ζ函数、高斯分布、三角函数等等其他数学领域中，圆周率都是一个重要的常量。在这些领域多达几千条的方程和公式中，我们常常看到2π的身影。“道士”们认为：既然在绝大多数公式中π往往以2π的形式出现，那么为什么不直接用τ呢？这恰恰说明了，相比较于π，τ才是数学和科学中更为自然的存在！

在鲍勃·帕莱的文章中，他描述了一个“弃派而用套”的平行世界。例如在使用π的世界中，当我们要表述一个位于1/3圆周处的点，或者一个位于3/4圆周处的点时，我们分别使用2/3π和3/2π这样的数值，看上去十分别扭、且不好理解。反之在使用τ的世界中，我们只需使用1/3τ和3/4τ，一切都显得自然、简单和美好！

对于数学家而言，π的使用掩盖了数学中一些潜在的对称性，因为因子2的存在，使得本应该优雅的过程变得杂乱无章。用多余的因子或者语言来描述和表达宇宙中最基本的概念，就好比在李白杜甫的诗句中加上宋晓峰的开场白：“啊~~此情此景，我想吟诗一首！”

那么，在数学漫长的历史中，是什么因素在冥冥中选择了π而没有选择τ呢？

一个普遍接受的观点认为，在人类早期的文明中，直径是一个比半径更容易测量的量。因此，在古巴比伦人、古埃及人和古希腊人构建他们宏伟的世界七大奇迹的过程中，他们选择了周长和直径的比率。不过有意思的是，虽然π是一个希腊字母，但最先使用π作为圆周率符号的人却不是古希腊的那些先哲，而是近两千年后的瑞士数学家欧拉，他在1736年推广使用π作为圆周率的约定。不过据说欧拉本人当年在使用π，还是使用τ上也曾有过犹豫。

回到今天。考虑到几乎所有的教科书和学术论文中都使用π作为圆周率，立刻转向使用τ十分地不现实。“道士”们转而希望这两个符号的使用可以并存，这样更多的人可以体会到使用τ的便利性，并逐步减少和淘汰π的使用。

对于吃货来说，这并不是一个大的问题。今天是饼日，我们大可以继续吃饼；再过三个半月，当人们迎来“套日”时，尽管没有相应的食物构成双关，但人们可以吃双份的饼来应景。

只不过，对于那些同是大A股民的数学极客来说，这并不是一个很好的谐音梗。

或许，这也就是τ的使用并不普及的原因之一吧！

“有人说这是最单纯的语言”—— 文以载数创作奖

July 23, 2023 Athlon_BELeave a comment

“文以载数创作奖”^【¹^】是面向台湾地区大专校院的数学科普活动之一。该活动鼓励学生构思将理性的数学与感性的文字结合，创作与数学有关的各类文学作品，藉以推动学生阅读课外书籍、探索数学知识，并将其转化为文学作品，以激发学生对数学的兴趣及创意联想。

第一届技专校院“文以载数创作奖”于2015年由台湾“中国科技大学”举办，2016年开始转由台湾“国立勤益科技大学”举办，最近几年该活动得到了“科技部科教发展及国际合作司”大众科学教育计画的支持和赞助。

根据活动网站上的简介，在台所有大专校院的在读学生（含研究生）均有资格以个人或团体的名义参加（团体人数至多3人）。应征作品的内容必须将数学相关知识、名词或概念融入，直接使用或间接借用均可。

每年12月中旬，活动开始征集作品，应征作品分为诗歌和散文两类。评分标准中，创意度占比25%，与数学的相关程度占比35%，生动有趣的表达方式占比20%，精炼、准确的文字占比20%。

第二年的5月份，活动公布当年“文以载数创作奖”的获奖名单。组委会在两类作品中分别评选出9个作品，按照评分标准分列“特优”1名、“优等”2名和“佳作”6名，分别奖励5000元、3000元和600元新台币。

因为这个比赛对数学水平的要求不高，所以比赛吸引了不少来自其他专业的学生参加，其中不乏理工、语言、商科、医科等背景的参赛者。从网站上的分享来看，有些作品离数学文化的概念还比较远，有些则仍显文笔稚嫩，诗歌生硬，散文太散，总体上感觉差强人意。

以下这篇散文《有人说这是最单纯的语言》来自2018年散文类的优等作品，作者是“中原大学”应用华语文学系的李芃。个人觉得这篇散文虽然和数学的关系不是特别紧密，甚至求极限那个例子似乎有错，作为应征作品作者的遣词造句好像也不够用心，但贵在节奏自然、读起来流畅且富有情感。特作为示例，分享给大家。

《有人說這是最單純的語言》

　　高二初夏，講台上老師寫下 y = 2^x 與 y = 2x。那時昏昏欲睡的我，無關痛癢的聽著，直到老師畫出他們交會兩次後分離，老師說了一句：從此不再相見。

　　我突然醒了，擦擦眼角的淚痕，想起我正在上課，台上老師說著一百年前就和我們爭取同樣權利人們的文章，女權、自由、外爭主權，內除國賊，套用現在依舊實用。不過怎麼會突然做這個夢呢？我不禁苦笑：夢還沒醒嗎？〈後來〉都唱幾次了？

　　那時剛開學，蟬聲不止，一個黝黑寡言的人望著我，順著那道目光我誠誠懇懇的「瞪」回去，反正不是第一次被當成我「看」人用「瞪」的。然後就沒有然後了，隔天就是開學，一成不變的選幹部、排座位……他逐漸模糊在我的記憶裡。

　　我當上了衛生股長，不是我特別愛乾淨，懶病無藥醫的我不意外只是單純不想做掃地工作，打算直接當幹部免去麻煩，擔心叫錯名字而尷尬癌爆發的我，馬上要求同學在自己的座號旁邊簽上自己的名字，認字跡我就可以認人，直至我看見一個不同於其他鬼畫符的字體，稱不上漂亮，不過就是中規中矩的雌雄莫辨的字跡。誰？我知道是男的，但是誰？

　　數學課上，老師詢問了有誰願意當小老師的意願，直接說明希望是數學成績不要太差的同學，因為是第一天，沒有人直覺就認為自己的數學比其他人好，但一直劃破領空黑乎乎的手就這樣舉了起來，我還想說誰這麼無恥的時候，老師鬆了一口氣的說：好的，謝謝這位同學，你叫什麼名字？

　　那個雌雄莫辨的字跡的本人，變成了數學小老師。

　　「讓我們翻開課本第一章數與式，小時候你們學過那些數，包括正負數、根號、分數、小數都包含在……」那堂課我唯一記住的是，歸謬法，我記著很久，因為他特別像我的矛盾。提出相反的假設，假裝自己並沒有很在意那個雌雄莫辨的小老師；進行合理的推論，我真的沒有在看，即使走過去與他請教數學依舊面色如常；得到矛盾的結果，我們的互動，我相信全班甚至他都看到猜到了。由此反推，我好像喜歡他了。

　　隨著老師要我們填一些基本調查的單子，我知道他以前是美術班的，拉過八年的小提琴，寫著歐陽詢的楷書。一日清早看見他在我家門前跑過，他清爽的與我打招呼，我亂糟糟的頭髮，惺忪的素顏，機靈的馬上一臉古怪的好似：先生你搭訕嗎？隔天上學時，他一句：欸，我昨天跑馬拉松的時候好像有看到你欸。「你認錯了吧，我不是那個時間出門的。」隨著我們的交集越來越多，期中考到了，我化學直接考爆。當我正擔心要重修時，他滿臉燦爛的向我走過來：這次老師出得太簡單，我班排一。我灰敗的臉色讓他下午抱著外套，給那個我曾經跟他說過像是 lim(x→0)[x/(1 – cosx)]的討厭鬼，搞了半天結果不存在，只能怨恨老師的浪費考試時間。

　　那是 x = 1，y = 2^x 與 y = 2x 第一次交會。

　　時光匆匆，隨著 99 課綱的最後一章 sin²θ + cos²θ = 1²，tan²θ + 1² = sec²θ，1² + cot²θ = csc²θ，高中結束了。

　　於是我開始面臨大家眼中前程似錦的大學生活，但由於我的成績，生活機能考量，最後和他念了同一間學校，卻是相差甚遠的科系，系館也離的遠。正當我準備開始新生活時，開學的第一個禮拜，我聽見有男聲呼喚我的名字，熟悉但我想不起來是誰。如今想起那個轉頭似乎配著老師演繹證明題時的最後一句：「得證」。

　　兜兜轉轉我似乎發覺 x 開始 = 2 的影子出現，我一邊貪戀他的每個早安晚安，一邊惴惴不安的擔心 2 真的被代入之後我們就漸行漸遠。不過，隨著第一學期的第一個比起夜衝夜唱更真實存在於大學生活的證明——期中考，他的語氣越來越敷衍，越來越多的「喔」、「是喔」、「你開心就好」。我開始明白，2 被代入了。

　　日升月沉，國慶日、耶誕晚會、元旦、寒假、年假、清明年假，國定年假提醒了時間的流動，只有那時我似乎才重新有了心跳，心跳就像秒針敲打著倒數的青春。我分不清交叉線、平行線與漸進線的際遇哪個比較令人難過，但我知道那些文字不足以表達的感情，最終都讓我又在文字中尋得慰藉。有些人一旦錯過就不再。

参考出处：

https://mathnarrative.ncut.edu.tw/index.php

Logo背后的奥秘——日本数学奥林匹克基金会

June 5, 2023June 5, 2023 Athlon_BELeave a comment

第64届国际数学奥林匹克竞赛（IMO）将于下月初在日本千叶举行，本次赛事由日本数学奥林匹克基金会（The Mathematical Olympiad Foundation of Japan）^【¹^】承办。

日本数学奥林匹克基金会（JMO）成立于1991年，其前身是日本国际数学奥林匹克委员会。1989年，日本首次派出两名观察员参加在当时的西德举行的第30届IMO，1990年首次派出学生参加在北京举行的第31届IMO比赛。参加国际数学奥林匹克竞赛在日本得到了广泛的响应和支持，1991年，JMO成立，隶属于当时的教育部。目前，该基金会是日本内阁府所管辖的公益性财团法人基金会，支持派出学生参加包括IMO、APMO在内的国际数学竞赛，并支持在中学数学教育中开展相关的调查和研究、设立数学传播和启蒙等项目，为中学生数学教育的发展和提高做出贡献。

JMO的logo。

JMO为日本青少年数学奥林匹克竞赛（JJMO）所出版的习题集。

我们发现，JMO的logo由一个圆以及内接于此圆的六边形所组成，六边形被分为三条从同一顶点出发对角线分割成了四个三角形，每个三角形里又有一个内切圆，从上到下分别涂成了红色、绿色、蓝色和黄色，其中绿色、蓝色和黄色圆内分别有字母J、M、O，代表日本数学奥林匹克基金会，也代表日本数学奥林匹克竞赛。

为日本青少年数学奥林匹克竞赛（JJMO）的logo和JMO的logo基本上相同，唯一的不同之处在于JJMO多出一个字母，多出的J被写在了红色圆内。

JMO这么一个logo的背后有什么具体含义呢？这一切还得从日本历史上的算额说起。

在《课堂上来不及思考的数学2：挑战极限》一书^【²^】中，我们介绍过日本寺庙和神社中供奉的算额：

在神道教中，马是神明们的代步工具，所以历史上神社都有祭奉马匹的传统。不过，一般人家别说向神社供奉马了，家里都不一定能买得起马，所以往往就用木头雕一匹假马代替真马进行供奉。久而久之，木雕马被绘有马匹图案的小木板所替代，这样的木板也因此被称为“绘马”。在神社和寺庙中悬挂绘马的传统延续到现在，木板上画的马也变得可有可无了，取而代之的是人们写下的各种愿望，比如求姻缘、求子、求家人平安、求学业顺利等等。

在日本的历史上，曾经出现过一类让人大费脑子的绘马，它们就是“算额”。所谓算额，是一种特殊的绘马，人们在木板上写上数学问题，并给出自己研究出来的解答，然后将这些木板供奉给寺庙。

在西方科学知识传播到来之前，日本在中国文化的影响下发展出了自己的一套数学理论和应用，这一套日本传统的数学被称之为“和算”。和算在很长的一段历史时期中都属于日本文化中寂寂无闻的边缘学科，直到江户时代后期，和算才逐渐得到人们的青睐。对和算感兴趣的人群主要以庶民和低级别的武士为主，也包括一些生活较为富庶的农民和市民，他们把和算当成一种技能，如同围棋、茶道、花道和剑术一样，加以研习和传承。研习和算的人的最初目的是以自己较高的数学能力向神佛祈愿，感恩神佛的恩赐，所以在江户时代的后期就出现了向寺庙供奉算额的现象。

在日本算额的题目中，几何题要多于代数题。典型的算额几何问题一般要求计算边长或者圆的半径，题目中多出现圆和切线、或者相切的多个圆。

JMO的logo来自于日本长野市信州善光寺的一个算额。信州善光寺创建于皇极天皇3年（644年），这块算额是関五太夫在文化元年（1804年）所奉纳。其内容为：

翻译成中文，大致的意思是：大圆内接正八边形，其中最下面的两条边略去，所以图中实际上是一个七边形。从右下顶点出发，通过连接对角线，将此七边形分为5个三角形，每个三角形里内切一个圆。已知甲圆所切三角形的三条边长，求各圆的直径。

这道算额题用现在的几何知识来解并不难。因为七边形的框架实际上是正八边形，所以可以令：

AB = BC = CD = DE = EF = FG = a，

AC = BD = CE = DF = EG = GA = b，

AD = BE = CF = DG = FA = c，

AE = BF = CG = d （即大圆的直径）。

然后，通过托勒密定理求出以a和b表示的c和d：

在四边形ABCD中，AB∙CD + BC∙AD = AC∙BD，即a² + ac = b²。

在四边形ACDE中，AC∙DE + CD∙AE = AD∙CE，即ab + ad = bc。

联立上面两个方程，可得：c = b²/a – a，d = b³/a² – 2b。

这样，5个小三角形的所有边长都已知了。

剩下的工作就是对于已知三条边长的三角形，利用两个面积公式求得其内切圆的直径。

根据海伦公式：S = √[s(s – l₁)(s – l₂)(s – l₃)]，其中s = (l₁ + l₂ + l₃)/2。

根据以内切圆半径和边长为变量的面积公式：S = (l₁ + l₂ + l₃)r/2 = sd/2。

所以有，d = 2√[(s – l₁)(s – l₂)(s – l₃)/s]。

对于每一个小三角形，只须将其三条边长l₁、 l₂、l₃代入，即可得到其内切圆的直径d。

関五太夫的算额问题得到了解决，但我们的刨根问底仍将继续。

在関五太夫向信州善光寺奉纳这块算额的100年后，日本数学史学家三上义雄在他的一篇论文中提到了一个称为“中国定理”的几何定理。该定理认为：

给定一个圆内接多边形，通过任意方式将其分割成若干个三角形，那么这些三角形的内切圆的半径之和是一个常数。

其逆命题为：

通过任意方式将一个多边形分割成若干个三角形，如果这些三角形的内切圆的半径之和是一个常数，那么这个多边形的所有顶点共圆。

“中国定理”和它的逆命题都被证明是成立的。

上图显示了多边形的两种分割方式，绿色圆的半径之和与红色圆的半径之和相等。

因为这个定理和前面的算额问题有着非常紧密的联系，所以在三上义雄之后的研究中，这个“中国定理”慢慢地被称为“日本定理”（Japanese Theorem）。

日本定理可以通过卡诺定理来证明。卡诺定理以法国数学家拉扎尔·卡诺（Lazare Nicolas Marguerite Carnot）的名字命名，其表述为：

三角形外心到各边距离之和等于外接圆半径与内接圆半径之和。

这个表述简明不简明？优美不优美？

下面是Claudi Alsina ^【3^】等对锐角三角形的卡诺定理给出的一个巧妙的证明方法，钝角三角形的情况可以通过类似方法证明。

令外心到三条边BC、CA和AB的距离分别为x、y和z，通过外心和三个顶点的连线，三角形的面积可以表示为：

(ax + by + cz)/2

也可以通过内心和三个顶点的连线将三角形的面积表示为：

(a + b + c)r/2

所以有，ax + by + cz = (a + b + c)r。

然后，通过以下割补和放缩法，易见：cy + bz = aR，az + cx = bR，bx + ay = cR。

最后，

(a + b + c)(x + y + z)
= (ax + by + cz) + (cy + bz) + (az + cx) + (bx + ay)
= r(a + b + c) + (a + b + c)R
= (a + b + c)(R + r)

所以，x + y + z = R + r。得证。

现在回到日本定理，考虑对圆内接n边形的任意一种三角形分割，所有顶点之间的连线可以分为两类：

1) 多边形的边；

2) 多边形的对角线。

对于多边形的边来说，不论如何分割，这些边都是固定的，所以外接圆圆心O到这些边的距离之和为定值。

对于多边形的对角线来说，每一条对角线恰好属于两个小三角形。对于这两个小三角形来说，外接圆圆心O恰好位于其中一个三角形的内部（点O到此对角线的距离为正值），位于另一个三角形的外部（点O到此对角线的距离为负值）。

以上图为例，黑色线段为一条多边形对角线，它同属于三角形A和B，从O向此对角线引红色垂线，对于三角形A来说，这个距离取负号，对于三角形B来说，这个距离取正号，两者相加的话，其和恰好为0。

当然，还有一种可能是O恰好位于对角线上，此时点到线的距离为0，所以其和也为0。

这样，对n边形分割后的n – 2 个三角形逐一使用卡诺定理，然后加起来有

∑(x + y + z) = (n – 2)R + ∑r

方程的左边部分对每条对角线进行移项组合，可知O到每一条对角线的两个距离之和为0，所以方程左边只剩下O到每一条边的距离之和S：

S = (n – 2)R + ∑r

所以，∑r = S – (n – 2)R。

即对于圆内接多边形，不论进行如何的分割，得到的三角形内切圆的半径之和为定值，且等于外接圆圆心到多边形各边的距离之和减去n – 2 倍外接圆半径。

日本定理得证。

参考来源：

丹麦语的数字表达，你能破解它吗？

December 22, 2022 Athlon_BELeave a comment

亚历克斯∙贝洛斯（Alexander Bellos）是一位英国作家，同时也是一位数学科普者。贝洛斯从牛津大学数学系毕业后，进入新闻行业工作，不久后即加入卫报，成为卫报驻南美的记者。在此期间，贝洛斯写作了《足球：巴西人的生活方式》和《贝利：自传》等畅销书。

结束驻外生活回到英国后，贝洛斯开始撰写数学科普方面的文章，并在每日电讯报上开设了专栏。2010年，贝洛斯的新书《亚历克斯在数字王国的冒险》出版，在英国畅销书排行榜上停留了四个月的时间，该书的意大利语版本曾获得伽利略科学书籍奖和皮亚诺数学书籍奖。同时，贝洛斯还是BBC的特邀主持人，常常在节目中谈论数学问题，他在Radio 4上的纪录片《数字涅槃》入围了2014年英国科学作家协会奖最佳广播节目。

下面这道语言趣题来自于贝洛斯2020年出版的书籍《语言爱好者的谜题》（The Language Lover’s Puzzle Book: Lexical perplexities and cracking conundrums from across the globe）。在这本书中，贝洛斯收集和介绍了100多个填字游戏、语言游戏和谜题，展示了这个世界上文字和语言的多样性以及它们和数学的有趣的联接。

这道语言趣题和丹麦语中的数字表达有关。大家都知道法语表达数字的方法比较“拧巴”，其实不仅仅是法语，在欧洲，有不少语言的数字表达方式都比较复杂，比如在德语和荷兰语中就存在十位数和个位数的倒置表达方式等。在欧洲这些语言中，丹麦语对数字的表达应该算是比较独特的。

题目中给出了一些数字在丹麦语中的写法：

fire = 4

nioghalvfjerds = 79

toogtyve = 22

seksogtres = 66

ni = 9

syvoghalvtreds = 57

enogfirs = 81

tre = 3

fem = 5

问，以下丹麦语表示的数字分别是多少？

seks，nioghalvtreds，treogtyve，femoghalvfems，toogtres，halvfjerds

以及，如何用丹麦语表示以下数字？

7，54，21，85和99

我们从题目示例中的个位数入手，因为个位数最简单，一般不涉及语法结构。示例一共有9条，其中4条是个位数，它们分别是：fire = 4，ni = 9，tre = 3和fem = 5。

未知的个位数字有1，2，6，7和8。

示例中还剩下5个两位数，它们分别是：nioghalvfjerds = 79，toogtyve = 22，seksogtres = 66，syvoghalvtreds = 57和enogfirs = 81。

仔细观察一下，这5个词语中都有A-og-B这样的结构，很明显og这个结构和两位数有关。

再观察一下5个两位数中的79，它的分结构为ni-og-halvfjerds；而我们正好已知9的个位数表示为ni，因此可以推断在丹麦语中，两位数中个位数字和十位数字以og连接，且同样存在倒置的表达方式，即个位数字在前，十位数字在后。

根据这个推断，我们从余下的4个两位数中得到其它4个个位数的表达：

to-og-tyve = 22 → to = 2；

seks-og-tres = 66 → seks = 6；

syv-og-halvtreds = 57 → syv = 7；

en-og-firs = 81 → en = 1。

现在9个个位数里只差8了。

再来看看两位数中的十位数字的表示。

和个位数的表示相对比，可以找到两个相对简单的例子：

seks-og-tres = 66，其中tre = 3，tres在这里则表示60；

en-og-firs = 81，其中fire = 4，firs在这里则表示80。

这使得我们可以猜测：是不是(og)-tres表示20 × 3，而(og)-firs表示20 × 4？

如果是这样，那么20为什么不是(og)-ens？这里先放下。

另外还有两个十位数字为奇数的例子：ni-og-halvfjerds = 79和syv-og-halvtreds = 57。这两个数字中都带有halv-的结构，是不是和奇数有关？比如halv-treds是不是表示20 × 3 – 10？如果是这样的话，那么为什么70不是halv-fireds而是halvfjerds。这里也先放下。

来看看需要完成的丹麦语到数字的翻译。

seks = 6，这个我们已经推断出来了；

nioghalvtreds，十位数字halvtreds = 50例子里有，所以这个数字是59；

treogtyve，同样十位数字tyve = 20例子里有，所以这个数字是23；

femoghalvfems，这个十位数字例子里没有，但根据上面的推断，我们可以猜测halv-fems = 20 × 5 – 10 = 90，所以这个数字是95；

toogtres，这个简单，是62；

halvfjerds，这个翻译问题的出现验证了-og-本身只是一个连接词，它不表示十位数；而-og-后面接的部分才表示“几十”，所以这个数字是70。

再来看看从数字到丹麦语的翻译。

7 = syv，这个很简单；

54 = fireoghalvtreds，照搬例子中的50即可；

21 = enogtyve，同样是照搬；

85 = femogfirs，还是照搬；

99 = nioghalvfems，这里用到了前面丹麦语到数字翻译题目中的halvfems。

好了，题目做完了，再来看看丹麦语中的数字表达体系。

丹麦语对大于50的十位数字的表达，是基于20进制的，并使用halv表示20的一半，即10。具体来说，

halftreds从字面上来说就是“第3个（20）再减去一半”，即20 × 3 – 10 = 50。

tres就是“第3个（20）”，即20 × 3 = 60。

halvfjerds就是“第4个（20）再减去一半”，即20 × 4 – 10 = 70。

firs就是“第4个（20）”，即20 × 4 = 80。

halvfems就是“第5个（20）再减去一半”，即20 × 5 – 10 = 90。

这样的表达方式非常复杂，尤其对于不懂丹麦语的游客来说，他们很难理解为什么“50”里找不到和“5”有关的单词，而只能找到表示“一半”和“3”的单词。

上世纪50年代，为了简化丹麦语的表达方式，丹麦政府曾经推行过数字的简化表达方式，用类似于英语的单词femti，seksti，syvti，otti和niti分别表示50，60，70，80和90，并将简化后的“50”femti印在了1957年发行的50克朗纸钞上。在此后1972年和1997年两次的新钞发行中，femti都被用来表示“50”。

不过，很可惜，这种语言的简化没有被民众们所接受，他们虽然不反对使用印有femti的50克朗，但从不愿意在语言中使用femti这个词。最终，这个语言简化方案宣告失败，丹麦国家银行逐步回收印有femti的钞票，并在2009年重新发行了印有halvtreds的50克朗新钞。

源氏香和贝尔数

August 29, 2022August 29, 2022 Athlon_BE1 Comment

在前几天的《数学带你游千叶》^【¹^】一文中，我们简单地介绍了第64届国际数学奥林匹克竞赛（IMO）会标设计中的源氏香图案，在下面这篇文章中，我们来具体介绍一下源氏香背后的集合划分问题。

和茶道、花道类似，香道也是东方传统文化中特有的一种礼仪活动，香道讲究的是“香气的艺术”，它通过燃烧香料所产生的香气和烟气，辅以富有艺术感的香炉、香盘、香刀等道具，营造出一个清净、典雅的环境，兼具艺术美感和生活情趣。

组香是香道中具有特定规则的判别香气的仪式之一，后来慢慢地演变成为一种游戏。组香的基本规则是使用两种以上的香料，通过某种组合或搭配，打乱顺序后依次燃烧，仪式或游戏参加者根据闻到的香味对炉中香料的种类进行判别，以猜中多少为胜负。在日本的传统中，组香有很多种玩法，比如四季香、竞马香和古今香等。源氏香是组香的一种，它的名字来源于《源氏物语》。

《源氏物语》是日本古典文学的巅峰之作，它成书于11世纪初，讲述了日本平安时代光源氏一生的故事。《源氏物语》的作者紫式部是一位女性，和《红楼梦》有些类似，《源氏物语》中也有很多女性角色，紫式部用植物和花卉的名字指代这些女性角色，并且以花语来暗喻这些角色的命运。《源氏物语》中关于焚香、熏香、调香的描写场景很多，比如《梅枝》一卷中描写的竞香会：在独生女儿明石的成人礼之前，光源氏组织了一场竞香会，吩咐妻妾们利用不同的香料，配制各有风味的熏香，并邀请萤兵部卿亲王闻香品香，以香气浓淡判定胜负。

《源氏物语》书中介绍了平安时代著名的六大熏香，它们分别是：梅花、荷叶、侍从、菊花、落叶和黑方。而流传到今天的“源氏香”，则是由五种不同的香料组合而成的组香，它并没有直接出现在《源氏物语》中，源氏香只是受到《源氏物语》的启发，借用了《源氏物语》一共54卷中的第2卷到第53卷的52个卷名，作为每一种组合（香纹图）的名字。《源氏物语》的第1卷卷名“桐壺”和第54卷卷名“夢浮橋”未被借用。

第64届IMO会标上使用的香纹图是“関屋”，虽然它是源氏香中的第15个香纹图，但它来源于《源氏物语》第16卷的卷名，所以日本千叶IMO会标使用了4个相同的“関屋”，寓意着4个16，即第64届IMO。

细心的朋友可以看出，每一个源氏香的香纹图都由5根竖线和若干根横向组成，这些竖线和横线的结构和搭配来自于源氏香的玩法。

源氏香的具体玩法如下：取5种香料，每种香料分为5包，这样一共有25包香料。将这25包香料打乱顺序，从中任意取出5包，作为一次源氏香游戏的谜底。将这5包香料依次放在香炉中燃烧，每点燃一包，参加游戏的香客们必须努力辨识和记住熏香的味道。当5包香料先后烧完，香客们需要凭借记忆判断这5包香中哪些包中的香料是相同的，哪些是不同的。

从左到右，香纹图中的每一根竖线表示先后燃烧的一包香料，如果香客们认为某两包包有相同的香料，就用一根横线将这两根竖线连起来；如果认为有三包香料相同，那么就用一根横线将对应的三根竖线连起来；依此类推。举例来说，上面的“関屋”香纹图就代表着第2、3和4包香料是相同的，而第1包和第5包香料各不相同。

需要注意的是，源氏香的香纹图只和5包香料中相互之间的异同、以及出现的位置有关，而和香料本身的种类无关。比如五种香料分别为A、B、C、D和E，5个香料包依次为ABBBC、BCCCE或者ADDDB的香纹图都是“関屋”；5个香料包依次为ABCDE、BACED或者DECAB，其香纹图都是“帚木”；而5个香料包依次为AAAAA、BBBBB或者DDDDD，其香纹图都是“手習”。但5个香料包依次为ABBBC、BABBC或者BBABC的香纹图是不一样的，因为不同香料包的位置不同，它们分别对应着“関屋”、“朝顔”和“蛍”。

因此，源氏香香纹图只和由5个元素组成的集合的划分有关，而和元素本身的种类无关。源氏香香纹图只有52种，大大少于从25包香料中选取并排列5种香料的可能得到的组合数。

计算源氏香香纹图的种类数，可以先按照5包香料中相同香料包的个数进行分类，分别计算后再加和起来。

如果所有5包香料都互不相同，那么相当于从5包中选出0包相同的香料，即C(5, 0) = 1种，对应的是“帚木”。
如果5包香料中有2包相同。
1. 其它3包互不不同，那么相当于从5包中选出2包相同的香料，即C(5, 2) = 10种。它们分别为“空蝉”、“夕顔”、“花宴”、“葵”、“明石”、“少女”、“篝火”、 “藤袴”、“幻”和“紅梅”。
2. 其它3包中也有2包相同，剩下1包不同，那么相当于先从5包中选出2包相同的香料，再从剩下3包中选取2包香料，注意到2种相同的香料先被选出和后被选出的结果是相同的，需要减去一半，即C(5, 2)∙C(3, 2)/2 = 15种。它们分别为“若紫”、“花散里”、“絵合”、“松風”、“初音”、“野分”、“真木柱”、“藤裏葉”、“若菜・下”、“鈴虫”、“夕霧”、“御法”、“椎本”、“早蕨”和“浮舟”。
3. 其它3包相同，那么也相当于从5包中选出2包相同的香料，即C(5, 2) = 10种。它们分别为“賢木”、“須磨”、“玉鬘”、“胡蝶”、“行幸”、“若菜・上”、“匂宮”、“竹河”、“総角”和“蜻蛉”。
如果5包香料中有3包相同。
1. 其它2包互不相同，那么相当于从5包中选出3包相同的香料，即C(5, 3) = 10种。它们分别为“紅葉賀”、“澪標”、“蓬生”、“関屋”、“朝顔”、“蛍”、“常夏”、“柏木”、“横笛”和“東屋”。
2. 其它2包相同。这种情况和2.3相同，不重复计算。
如果5包香料中有4包相同，那么相当于从5包中选出4包相同的香料，即C(5, 4) = 5种。它们分别为“末摘花”、“薄雲”、“梅枝”、“橋姫”和“宿木”。
如果所有5包香料都相同，那么相当于从5包中选出5包相同的香料，即C(5, 5) = 1种，对应的是“手習”。

综上，源氏香香纹图的种类总共有C(5, 0) + C(5, 2) + C(5, 2)∙C(3, 2)/2 + C(5, 2) + C(5, 3) + C(5, 4) + C(5, 5) = 52种。

我们将类似于源氏香香纹图这样的问题称之为集合划分^【²^】问题，即将一个集合中的所有元素划分到若干个互不相交的子集，没有遗漏也没有重复任何一个元素，一共有多少种划分方式的问题。

对于只有1个元素的集合，因为不存在别的元素，可能的划分只有1种，即{{a}}；

对于有2个元素的集合，可能的划分有2种，即2个元素分属2个子集{{a}, {b}}和2个元素同属1个子集{{a, b}}；

对于有3个元素的集合，可能的划分有5种，即3个元素分属3个子集{{a}, {b}, {c}}，3个元素分属2个子集{{a, b}, {c}}、{{a, c}, {b}}、{{a}, {b, c}}，和3个元素同属1个子集{{a, b, c}}；

……

对于有5个元素的集合，我们从源氏香香纹图可知，可能的划分有52种。

如果元素为空集，那么显然也只有1种划分。

这样，根据集合中元素的个数，我们得到一个数列：1, 1, 2, 5, 15, 52, 203… 这个数列以英国数学家埃里克·坦普尔·贝尔（Eric Temple Bell）命名，被称为贝尔数，即B₀ = 1, B₁ = 1, B₂ = 2, B₃ = 5, B₄ = 15, B₅ = 52, B₆ = 203…

贝尔数没有通项公式，但有递推公式：

考虑有着n+1个元素的集合中的最后一个元素a_n+1。

如果它自成1个子集，那么相当于从其它n个元素中选出0个来和它组成1个子集，剩下n个元素进行划分的方式有B_n种，所以这种情况下集合的划分方式有c(n, 0)B_n种。

如果它和前n个元素中的某一个元素同属1个子集，那么相当于从其它n个元素中选出1个来和它组成1个子集，剩下n-1个元素进行划分的方式有B_n-1种，所以这种情况下集合的划分方式有c(n, 1)B_n-1种。

依此类推，即可得到上述递推公式。

现实生活中有很多集合划分问题的实例。设想有5个学生去公园划船，每一条船最多容纳5人，那么这个划船组合问题其实就是源氏香的香纹图问题，问题中的5个学生互不相同，而公园里的船都是一样的，且每条船上至少有1个学生。所以5个学生相当于集合中的元素，而每条船相当于一个子集，这个问题即有着5个元素的集合划分问题。

如果我们加上一个限制条件：每条船最多容纳3人，那么可能的集合划分有多少种？或者，公园里的船有单人艇、双人艇和4人艇3种选择，可能的集合划分又有多少种？

这些问题就留给大家解决了。

参考出处：

数学带你游千叶

August 23, 2022August 24, 2022 Athlon_BE2 Comments

在上个月第63届国际数学奥林匹克竞赛（IMO）的闭幕式上，IMO的会旗从东道主挪威队队员的手中被依次传递到了日本队队员的手中，最后接过会旗的是本届比赛获得满分金牌的日本队员沖祐也^【1】。

2023年，第64届IMO将在日本千叶举行。

会旗移交之后，闭幕式上播放了一段由日本组委会准备的宣传片。也许出于东方人的文化传统，我觉得这个宣传片制作精良，比挪威为本届IMO制作的宣传片更具文化内涵。

千叶县，日本47个一级行政区划之一，位于东京湾和太平洋之间的房总半岛上，东临太平洋，西北和东京都接壤。在中日两国的行政区划中，“县”和“市”两个概念是“倒挂的”——在日本，县属于一级行政区划，类似于中国的省，当然面积要小很多；市则属于二级行政区划，或者地方行政区划，类似于中国的市和县。千叶县毗邻东京，属于首都圈，是日本人口最为稠密、经济最为发达的地区之一，在日本一级行政区划中，千叶县的人口居第6位。千叶县境内有成田国际机场，离日本最大、位于东京的羽田国际机场也很近，交通十分便利。

明年第64届IMO的主办地，就在千叶县的千叶市。

这部时长5分半左右的宣传片以海边日出的画面开始。画面中，远景是朝霞、正欲跳出云层的太阳和无边的大海，近景是一座高大的鸟居。

鸟居，外形像个中国的牌坊，在日本，鸟居是神社特有的建筑。鸟居所形成的门，被神道教认为是凡间和神域之间的边界和通道；在很多神社附近，通过鸟居走向神社就意味着进入了神明居住的圣地。在传说中，“鸟居”的原意是“鸡站立的木架”，当时人们为了呼唤天照大神，将所有的公鸡都放在了这样的一个木架子上。当然，实际上没有哪只鸡可以飞这么高，不过两根横梁、两根支柱的结构逐渐成为了鸟居的标准结构，在日本的地图上，当你看到两横两竖的符号⛩，它往往就代表着某个神社的位置。

宣传片中的这个鸟居通常被称为“東浪見の鳥居”，它位于千叶的钓崎海岸，这是一条狭长的、面向太平洋的海岸，从字面上不难理解，在这个鸟居附近可以向东眺望大海的波涛。钓崎海岸是日本久负盛名的冲浪胜地，每年都能吸引很多冲浪爱好者。2021年，东京奥运会的冲浪比赛就在此举行^【²^】。IMO日本组委会将宣传片的第一幅画面安排在钓崎海岸，颇有将两个奥林匹克联系在一起的意味。

第二个画面来自于位于千叶松户的户定邸历史馆^【³^】，这个历史馆曾经是德川家族的宅邸，德川家族担任幕府将军长达260余年，是日本历史上最为重要的政治家族。在松户的这个宅邸，大约是19世纪后期德川家族的旧居，画面中是宅邸的一个贮藏室，窗口带有铁栅栏，据说在19世纪后期，从这个窗口就可以远眺富士山。当然，现在建筑多了，从窗口望去只能看到院子里的花草树木。

宣传片紧接着展现了日本国旗，并在其中添加了几个互相相切、大小不同的圆。大小圆互相相切，求圆的半径，这样的问题常常出现在日本古代神社的算额和绘马上，我们曾经在《一休和算额》^【⁴^】以及《费脑子的绘马》^【⁵^】两篇文章中对算额问题做过介绍。

接下来，映入眼帘的是位于千叶县成田山的新胜寺^【⁶^】。第一个画面是新胜寺的大本堂。和神道教的神社不同，新胜寺是一座佛教寺院，始建于940年，其后一直没有什么名气，直到17世纪初德川家康迁都到江户，并且皈依佛教，这才使得这座寺庙慢慢发展起来。新胜寺现存的建筑大多建于19世纪后期，现在的大本堂则建于1968年，属于仿古建筑了。

新胜寺仁王桥的两侧各有近乎正方形的放生池，池中央有乌龟形状的岩石，叫做“龟岩”，龟岩露出水面，形成了一个小岛。放生池里有很多乌龟，天气好的时候，乌龟们爬到龟岩上晒太阳，构成了“龟上有龟”的景象。

从放生池左侧的小路往上走，有一座供奉“不动明王”的小寺庙，据说这个小寺庙反复修葺过很多次，修一次坏一次，坏一次修一次，所以叫做“毀れ不動堂”。小路的旁边，有一把利剑的雕塑。

而另一边，则有青铜塑就的狮子蹲在一个石座上。

接着，画面转向了现代艺术，这是teamLab^【⁷^】在位于东京森大厦的数字艺术美术馆中举行的灯光艺术秀。TeamLab是一个于2001年在东京成立的国际性艺术团体，由艺术家、程序员、工程师、动画师、数学家和建筑师组成，他们运用数字技术创作艺术品。除了在东京，teamLab在上海也建有美术馆，地址在原世博园浦西部分。

这个作品叫做“灯之森林”，当有人站在一个灯笼附近不动时，这个灯笼会自动变换颜色，发出和颜色相应的音调，并且不断地将颜色传递给邻近的其它灯笼。

紧接着，宣传片展示的是“源氏香”^【⁸^】，这是一种五种不同芬芳木料随机组成的混合香，得名于日本历史上最著名的文学作品《源氏物语》，目前在宴会场合、温泉浴、以及民宿中，还可以经常见到源氏香的使用。

随后，画面中是一片水稻田，远景中有一列火车从左向右行驶。这个画面来自于小凑铁路^【⁹^】。小凑铁路是千叶县市原市与夷隅郡大多喜町之间的一段铁路，它是一条仍然采用内燃机车的单轨铁路，因为铁路两旁是一片田园风光，车站大多陈旧而古朴，所以这条线路成了很多影视剧的取景地，乘坐有着红白两色车身的单节火车也成了网红们必须打卡的节目。

下一个画面是东京浅草寺^【¹⁰^】的解签盒。日本人去寺庙除了参拜和供奉之外，往往还有求签，求签价钱并不贵，一般100日元即可。求签之后需要解签，画面中即浅草寺的解签盒，一共有100签，每支签相应地有一首签诗，按照凶吉分为七档，分别为：凶，末小吉，末吉，小吉，半吉，吉，大吉——你看看，菩萨和比利时的中小学老师一样，都以鼓励为主！

画面中是第八十七签，签运大吉，签诗云：凿石方逢玉，淘沙始见金；青霄终有路，只恐不坚心。对于参加IMO的选手来说，要获得好成绩也无外乎需要意志坚定、勤奋努力吧，否则也不能获得成功。

接下来，是位于千叶县鸭川的大山千枚田^【¹¹^】，这是一座完全依靠雨水灌溉的梯田，梯田所在斜坡东西长约为600米，南北宽约为150米，海拔落差约为60米，分为大约30层大大小小的稻田375个。

宣传片的第一部分由一幅集齐了多个日本元素的传统绘画作为结尾。画面中有红日、富士山、海水、樱花、仙鹤等传统的元素，画面右侧还加上了部分东京元素。个人觉得有些画蛇添足了。

宣传画的第二部分进入IMO的正题，开始展示与数学有关的内容。首先仍然是源氏香，因为第64届IMO的会标就是由4个相同的源氏香纹图组成。

每一个源氏香纹图中有五根竖线，每一根竖线表示一根香木，如果香木属于同一种，就用横线将它们连接起来。所以，对于每一个源氏香纹图来说，它可以由同一种的5根香木组成（如上图第一行第一个香纹图所示），可以由5种香木各1根组成（如上图第一行最后一个香纹图所示），也可以由3根相同香木而另2根香木各不同组成（如上图最后一行第四个香纹图所示）…… 源氏香纹图一共由52种不同的组合，为什么？这个问题交给读者朋友们了，你们可以将自己的解答写在评论中。

介绍完会标后，画面中出现的是位于千叶市中心的亥鼻城^【¹²^】。亥鼻城被认为是千叶市的发祥地，始建于12世纪初。因为在正方形的城堡前还建有一个突出的、小型的建筑，形如猪的鼻子，所以得名为“亥鼻城”。

接下来是介绍东京的内容。第一个画面是东京车站。东京车站于1914年投入使用，是日本多条铁路干线和东京地铁的联结枢纽。

然后是著名的涩谷路口。涩谷路口被誉为世界上最著名的路口之一，它以人流量密集闻名。涩谷路口采取行人全向十字路口，即当行人穿越灯亮起时，所有方向的机动车道都显示红灯，而行人可以自由地向任何一个方向穿行，这个情景相信对于熟悉日剧的朋友们不会感到陌生。

然后是东京的竹下通街道。竹下通位于东京原宿，是一条以服装、饰品和食品为主的步行商业街，它也是最受年轻人和游客欢迎的东京街区之一。

再然后是浅草寺的大门。浅草寺全面金龙山浅草寺，供奉的是观世音菩萨，画面中是浅草寺的雷门，门下挂着一个大灯笼，上书“雷门”二字。

接下来镜头重新转回千叶。画面上是千叶县幕张国际展览中心^【¹³^】，它占地面积21万平方米，是融国际展览厅、国际会议室和幕张活动厅于一体的日本最著名的会展场所之一。

然后是千叶市著名的悬挂式单轨电车^【¹⁴^】。悬挂式单轨列车有着轨道曲线半径小，占用地面空间少，拆迁工程量小，建设成本低等特点。千叶市有着世界上最长的悬挂式单轨电车路线。

这个画面是钓崎海岸附近的航拍，左边是太平洋。宣传片以这个画面结束了第二部分。

宣传片的第三部分开始介绍日本的数学家。这个铜像是新胜寺毀れ不動堂下的矜羯羅童子，他是不动明王八大童子之一。

这个画面是新胜寺仁王桥后狮子岩上的一只狮子。

首先介绍的是17世纪日本的数学家关孝和^【¹⁵^】，关孝和被日本人奉为“算圣”，他在代数方程组求解和行列式理论方面有着突出的贡献，另外他还研究了圆周率的计算。宣传片中将关孝和称为世界上最早确定圆周率的人，这个……呵呵。

关孝和也贡献了不少算额问题，上图是其中的一个：已知6个直径为7的蓝色圆相切于红色圆内，绿色圆直径是蓝色圆的两倍，黄色圆则分别与绿色圆、蓝色圆和红色圆相切。求黄色圆的直径。这个问题同样留给读者朋友们。

接下来，宣传片介绍了日本的三位菲尔茨奖得主：小平邦彦，广中平祐和森重文，他们三人在代数几何方面都取得了杰出的成果，被认为是代数几何日本流派的代表性人物。

宣传片随即转向数学科普，介绍了东京理科大学教授秋山仁和1996年IMO金牌得主、钢琴家和数学教育工作者中岛幸子，中岛幸子的斜杠才能值得另写一篇文章来介绍。

宣传片着重介绍了东京理科大学的数学体验广场^【¹⁶^】。在这里，学生们可以通过特定的道具和装置学习到不少数学知识，上图是正态分布的演示。

最速下降实验。直线、圆弧、抛物线和摆线，哪条轨道上的小球先到达底部？

如何使得拥有正方形车轮的小车不会上下颠簸？这时你需要一个有着悬链线形状凸起的地面。

从椭圆的一个焦点将球击出，经过椭圆形状的桌边反弹，必然可以击中位于另一焦点上的另一个小球。

然后，是第64届IMO日本组委会主席藤田岳彦的致辞。

这个画面中的形状是一种阿基米德多面体^【17】，它由若干个正三角形、正方形和正五边形组成。我们熟知的足球，也是一种阿基米德多面体。

宣传片最后以东京、千叶的几个画面结束。上图是涩谷路口。

这个画面是浅草寺的求签处，求一支签100日元。

千叶的海滩。

新胜寺的仁王门。门口的大灯笼上是“鱼市”两个大字，因为当年寺院翻新时当地的鱼行老板们捐了不少钱。

大山千枚田。

千叶的海滩。

最后是2023年第64届IMO的会标，以此结束我们的数学之旅和千叶之旅。

参考出处：

帕丁顿熊和迪弗尔小镇

January 19, 2022January 19, 2022 Athlon_BELeave a comment

在伦敦市中心，从海德公园出发，向北穿过两三个街区，你就可以来到帕丁顿火车站。

帕丁顿车站是莘莘学子们从伦敦去往牛津所必经的车站之一，在车站月台的一隅，你可以发现一座铜像，铜像上是一只可爱的小熊。如果再往四周看看，你会发现在这只小熊几乎无处不在，在候车座椅椅背上，在纪念品商店中，它穿着一件蓝色的粗呢大衣，戴着一顶红色毡帽，手里拎着一只旧旅行皮箱，脖子上挂着一个纸牌，上面写着：请照顾好这只小熊，谢谢！

这只可爱的小熊被称为帕丁顿熊，它是英国儿童文学故事中一个经典的虚构角色。帕丁顿熊最早出现在1958年出版的儿童读物《一只叫帕丁顿的熊》（A Bear Called Paddington），其作者是英国作家迈克尔·邦德（Michael Bond）。

传说在1956年的圣诞夜，邦德乘火车回到伦敦。在路过帕丁顿车站时，他在一家商店的货架上看到一只孤零零的泰迪熊玩偶，应该是卖剩下的一只。于是他将这只小熊买下，作为礼物送给了妻子。过了一段时间，邦德看到这只熊，联想起二战期间大量从欧洲大陆来到英国的小难民，以及从伦敦疏散到英国内地乡村的儿童，他写下了《一只叫帕丁顿的熊》这本书，在书中塑造了帕丁顿熊这个角色形象，尽管书中的小熊来自南美的秘鲁，但小熊拎着的小行李箱、以及脖子上挂着的托人照顾的牌子正是战时成千上万的孩子通过车站疏散到乡村的真实写照。

帕丁顿熊身上的另一个时代特征，就是他所穿的蓝色粗呢大衣。

粗呢大衣，在英语中被称为Duffle coat或者Duffel coat，是一种时至今日仍然活跃在时尚界和家居衣橱中的大衣款式，它一般以羊毛混纺面料制成，颜色以深蓝色、黑色和驼色为主，其最具特色的设计是牛角或者棒槌形纽扣和双绳扣眼的组合，因此也经常被称为“牛角扣大衣”或“绳扣大衣”。

粗呢大衣流行于二战后的五六十年代，但其历史可以追溯到十九世纪中叶。第一款粗呢大衣由英国服装厂家John Partridge于1850年推出，其设计灵感来自于19世纪初波兰的工装大衣，第一款粗呢大衣已经使用了牛角和双绳扣的设计，不过和现在的粗呢大衣相比，其款式较短、且更为宽大。

John Partridge的粗呢大衣使用了厚实的羊毛面料，这种面料比较粗重，外层和衬里都由羊毛纺成，据称这种面料最开始生产于比利时安特卫普附近的迪弗尔（Duffel）小镇，因此被命名为duffel。在流传过程中，弗莱芒语的duffel逐渐被英语书写习惯的duffle所替代，因此duffel或者duffle都被用来称呼这种特殊的面料，而粗呢大衣也相应地被称为duffel coat或者duffle coat。

粗呢大衣面世后，因为它既保暖又防水，大号的帽子可以遮风挡雨，宽大的口袋可以收纳望远镜等装备，所以它很快就受到了英国海军的欢迎。英国海军在十九世纪后期购买了大量的粗呢大衣，当时的粗呢大衣被军人们称为“护航大衣”。

士兵们对粗呢大衣的喜好逐渐延伸到了其它军种，因为它的实用性，粗呢大衣在两次世界大战期间在英国军队中得到了大面积推广，在北非战场击败隆美尔的英军统帅蒙哥马利就非常喜欢穿粗呢大衣，以至于后来粗呢大衣又有了一个“蒙哥马利大衣”的外号。

二战结束后，英军军需仓库中尚余大批粗呢大衣需要处理，英国外套品牌Gloverall趁机收购了大量的粗呢大衣，将其带入平民时尚，没想到取得了巨大的成功。当军队库存的大衣基本售完后，Gloverall及时推出了自己设计的第一款完全民用的粗呢大衣。民用的粗呢大衣选用了重量较轻的面料、缩小了帽子和口袋的尺寸，衬里改用光滑的缎面，大大提高了粗呢大衣的穿着舒适度和衣品档次。

在五十年代后期，粗呢大衣已经成为了一种穿着时尚，通过牛津、剑桥等著名大学师生对品牌的加持，穿着粗呢大衣成为了思想自由的知识分子的典型形象，这个风格的转变给粗呢大衣打上的英伦学院风的标记一直流传到了现在。

所以，从设计到流行，粗呢大衣都是实打实的英国制造——只不过它用了粗呢面料，而面料的名字可以溯源到比利时的迪弗尔小镇。

要说现代纺织工业，其实它也起源于英国。十八世纪，出生于比利时根特的利文·鲍文斯（Lieven Bauwens）去英国学习纺织技术和工厂管理，这位比利时历史上最为重要的工业间谍潜心等待机会，终于成功将一台纺织机从英国偷运回比利时，从而重塑了比利时纺织业的辉煌。今天，在根特圣巴符教堂后方有一块小小的圆形广场，就以鲍文斯的名字命名，且立有他的纪念雕像。

当纺织业在比利时北部蓬勃发展时，弗兰德斯的各个城镇选择了不同的发展方向，以布鲁塞尔、根特为首的城市选择了较为精美的布料，而在安特卫普附近，迪弗尔小镇专门生产穷人们能够消费得起的各种廉价粗布——没想到，迪弗尔的粗布生意越做越大，它的产品遍及欧陆、伦敦，乃至美国纽约。因此，当英国人开始设计粗呢大衣时，下意识地就把这种粗重的羊毛面料称为duffel，从而把粗呢大衣和这个比利时小镇联系了起来。

有意思的是，因为这个名字，在疫情之前每年都有不少游客从海峡对岸过来，造访这座小镇，四处打听粗呢大衣博物馆和第一座粗呢大衣工厂的所在。迪弗尔居民对此一脸茫然，因为粗呢大衣原本就起源于英国，和这个比利时小镇没有什么关系。而小镇生产粗布的历史，也几乎被湮灭在了现代化的进程之中。

不过，精明的比利时人脑子很快就转过弯来，他们一边在迪弗尔官方网页上含糊不清地解释着粗呢和粗呢大衣的关系，一边悄咪咪地在2014年将镇子的logo改成了带有牛角双绳扣元素的设计——老天爷！如果说粗呢和迪弗尔多少还有些关系的话，牛角扣和小镇可真的不搭界啊。

不过，迪弗尔的人们对该设计的寓意有着高大上的解释，“牛角双绳扣清楚地揭示了本市镇追求的目标：一个有参与感的市镇，人们互相联系、相互关怀，每一个人都在此真正合作”。

在更早一些时候，大约在2007年，迪弗尔当地的企业家Frans Vermeulen定制了一件粗呢大衣的雕像，并将它捐献给了迪弗尔市政府。经过多年协商，市政府同意将这座雕像安放在Hondiuslaan附近的环岛之中，成为了这座小镇的地标性雕塑。

可以预见的是，将来迪弗尔还可能建立起一家粗呢大衣的博物馆，一座粗呢面料工厂的旧址，甚至几个以粗呢大衣为主题的旅游项目。

躬耕于南阳还是襄阳，诸葛亮自己也说不清楚。历史，在旅游经济面前就是一个任人打扮的小姑娘，这放在哪里恐怕都是真理吧。

翻译两则

November 16, 2021November 16, 2021 Athlon_BELeave a comment

一、

前两天在群里聊上海的老房子，学到了一个新的知识点：原来陕西南路的老石库门社区“步高里”还有一个很洋气的名字，叫做Cité Bourgogne，在法语中，是“勃艮第之城”的意思。

第一次知道步高里，是在潘虹主演的电影《股疯》之中。主角莉莉一家三口生活在这个老式弄堂里，虽空间逼仄、生活忙碌却也其乐融融，后来港商阿伦来上海炒股，看中了这个毗邻交易所的石库门房子，莉莉和阿伦的这次投资合作给这个三口之家乃至弄堂邻里带来了翻天覆地的变化。

之所以对这部电影印象深刻，是因为故事的背景在90年代初的上海，片中不少场景和物件都是我所熟识的，比如十字路口的过街天桥、竹躺椅乘凉、收音机、大哥大等等。三十年过去了，这些中的大多数现在已经成为了历史，被收纳到了记忆之中。

现实中留下来的东西不多，其中就包括步高里这个石库门社区。

大约在1912年，几个活跃在上海的法国金融经纪人R.Fano、J. Beudin、信孚洋行的H. Madier和华商章鸿笙、叶琢堂一起，在当时的法租界注册了一家名为万国储蓄会（International Saving Society）的金融机构。最开始，万国储蓄会的主要业务是有奖储蓄，约定储户连续定投20年年即可收回本金、利息和红利，同时，储蓄会承诺每个月从当月储蓄款中拿出四分之一用于面向储户的抽奖，以这种庞氏骗局的方式万国储蓄会吸引了大批幻想着天降横财的中下层市民参储，业务发展十分迅速，很快在北京、天津、汉口、沈阳乃至内蒙古都开设了分会，募集和骗取了大批民间资金。

资金到手后，万国储蓄会将其大部分投入到房地产中，除了购买和倒手公寓、大楼、里弄房屋以外，万国储蓄会还于1920年左右成立了一家中国建业地产公司，购置地产，并且建造住宅。在1924年到1936年间，中国建业地产公司先后修建了建业里、步高里、衡山宾馆、淮海公寓、武康大楼等多处石库门住宅群和公寓。这些建筑的外墙上，都留下了万国储蓄会（ISS）的标志。

2017年，由建业里部分建筑改建而成的上海嘉佩乐建业里酒店开业，其马头山墙上仍然保留了ISS标志。

因为万国储蓄会是一家法商机构，所以这些房地产最初多以法国地名命名，除了步高里的法语名字是勃艮第之城以外，衡山宾馆原称毕卡第公寓（I.S.S. Picardie Apartments），淮海公寓原称盖司康公寓（Gascogne Apartments），而如今的网红打卡圣地武康大楼原称诺曼底公寓（I.S.S Normandie Apartment）。这几个法语名字分别来自于历史上法国的几个著名区域。

建国之后，上海绝大多数道路得以重新命名，带有殖民地色彩的路名被全国省市地名所取代，原来中国建业地产公司修建的这些房产也有了新的名字，比如衡山宾馆、淮海公寓和武康大楼。只有步高里例外，因为这个石库门住宅群建成之时就有了步高里这个名字，这个中文名字非但在发音上和法语中的Bourgogne非常相近，而且寓意着步步高升，取意祥瑞。

也许正是因为这个中法皆宜、音意俱佳的翻译，在近百年的历史中，步高里没有被改名为陕西南路xx弄或者建国西路xx号，刻有Cité Bourgogne的石匾也得以保留在步高里的牌楼之上。

二、

同样在上海，另一个和翻译有关的故事似乎早已被大家所接受，那就是同济大学的校名“同济”两个字来源于德语中的Deutsch，意思是“德语”或者“德国的”。这个符合大众对“信达雅”期望的翻译广为流传，从今天中文维基的同济大学词条，回溯到当年入学时的校史教育，无一不把这两个中文和德语名词联系在了一起。

同济大学源自德国医生埃里希·宝隆（Erich Paulun）所创建的上海德文医学堂，这所大学从创立之初的全德文授课，到改开之后恢复对德联系，再到90年代德国中心、德研所、中德学院的成立，与德国的渊源和合作一直延续到今天。从根源上来说，同济大学和德国的关系是密不可分的，所以，同济两字来自于德语中的Deutsch，这个说法从感情上很容易接受。

根据中文维基百科中“同济大学”词条：

……当时德国驻上海总领事克纳佩（W. Knappe）派领事馆参赞费舍尔（P. D. Fischer）与上海的中国官员上海道扎饬善堂协商，上海道决定把座落在张家浜新马路（今凤阳路）旁的一块地，用于筹办医院。1900年前后，由埃里希·宝隆创办的“同济医院”正式挂牌。

……埃里希·宝隆医生看到医院里的医疗力量不足，计划在院内设立一所德文医学堂，招收中国学生，以培养施诊医生。……1907年10月1日德文医学堂举行了开学典礼。

1908年，“德文医学堂”改名为“同济德文医学堂”。“同济”当时寓意德国人与中国人同舟共济，“同济”二字从德语“Deutsch”（意为“德意志、德语”）在上海话的谐音而来，意蕴合作共济。

同一词条的德语版本：

Die Vorläuferin der Tongji-Universität war die „Deutsche Medizinschule für Chinesen in Shanghai“. Sie wurde 1907 von der deutschen Regierung als erstes großes Projekt auswärtiger Kulturpolitik gegründet. Dafür engagierten sich insbesondere der deutsche Generalkonsul in Shanghai, Wilhelm Knappe, und der Ministerialdirektor im preußischen Kultusministerium, Friedrich Althoff. Sie arbeiteten dabei mit den deutschen Ärzten Erich Paulun, Oscar von Schab und Paul Krieg zusammen, die in Shanghai ein auf Initiative Pauluns errichtetes Krankenhaus für Chinesen, das Tung-Chee Hospital (Tongji-Hospital), betrieben. Dieses diente ab Oktober 1909 als Lehrkrankenhaus, wurde jedoch unabhängig von der Medizinschule geführt.

以上，中文词条对同济大学的创建过程介绍得比较详细，基本上是这么一个顺序：同济医院 -> 德文医学堂 -> 同济德文医学堂。并且明确指出，同济两字来源于Deutsch的上海话谐音。

德语词条的介绍比较简单，只提到了两个实体：Tung-Chee 医院 (Tongji 医院) 和Deutsche Medizinschule für Chinesen in Shanghai，即中文词条里的（上海）德文医学堂。

从这两条维基百科的介绍中，可以发现三个值得讨论的点。

第一，时间上医院在前，学校在后，这个是各方都没有疑议的。宝隆医生最先创立的医院叫做同济医院，或者音译的Tung-Chee / Tongji 医院，这说明医院名字一开始就是中文语境中的“同济”，和表示“德语”或者“德国的”Deutsch无关。同时，同济两字最开始是医院的名字，而不是学校的名字——这一点也是继承了医院和医学院、后来被合并到华中科技大学的同济医科大学就“同济”两字和继承了学校主体的同济大学争夺了这么多年的基本论据之一，本是院系调整之殇，却演化成了同根相争之利。

第二，1908年德文医学堂改名为同济德文医学堂，如果同济是Deutsch的音意双译，那么在“德文医学堂”的前面加上同样表示“德语”和“德国的”的“同济”，语义上岂不是画蛇添足？反之，如果同济和Deutsch没有关系，那么同济德文医学堂Tongji Deutsche Medizinschule在语义上就通顺了。

第三，在上海话中“同”字发不送气音d，这个确实和Deu-相符合；但是，上海话中“济”字同样是不送气音、而且发音相对短促，和德语中的长送气音tsch（音类似“尺”）在发音上有较大的差距。因此同济两字源于Deutsch的上海话谐音，这一点上是缺少说服力的。

因为以上这三点，我觉得“同济”源于Deutsch音译的传说大概率来自于建校之初某个无意中的附会，这个附会在同济大学与德国之间深厚的渊源关系中没有显现出多少违和感，所以得以流传开来，到今天成为了大家广为接受的真理。

荷比之间的时差

October 5, 2020 Athlon_BELeave a comment

荷兰和比利时，是两个南北相邻的国家，同属东一区，怎么会有时差呢？现实中，如果一个荷兰人和一个比利时的弗莱芒人没有具体约定在哪个钟点碰头，而只是笼统地说“上午”或者“下午”，那么他们往往会相互错过。因为他们虽然同说荷兰语，但“早上”、“中午”和“下午”这些表示时间的词汇在他们各自的理解中有着不同的具体范围。

语言学家Miet Ooms对此进行了研究和总结，她发现荷兰人把一天分为早上（ochtend）、中午（middag）和晚上（avond），而比利时的弗莱芒人则把一天分为5个时间段：早上（ochtend）、上午（voormiddag）、中午（middag）、下午（namiddag）和晚上（avond）。荷兰人也有“上午”和“下午”的概念，但在他们的理解中，“上午”和“下午”属于“中午”的一部分。

用一张图来解释，两个国家对时间的划分就比较清楚了。

从上图可以看到，“晚上”的概念在荷兰和比利时人心目中是相同的，不会因此引起任何误会。但如果约会在白天，那么两个国家的人就可能对相同的说法有着不同的理解。

比如，voormiddag（上午）。在比利时，这个词表示中午前的一段时间，大概是早上10点到中午12点。有些人也认为voormiddag是ochtend的一部分，另一些人则认为voormiddag是紧接着ochtend的时间段。在荷兰，很少有人会用voormiddag这个词；如果有人说起voormiddag，那么他指的一定是中午开始后的一段时间，大约是中午12点到下午2点之间的样子，即通常的午餐休息时间。

又比如，middag（中午）。在比利时，这个词表示正午前后的一段较短的时间，差不多中午12点到下午2点，或者到下午1点的样子。在荷兰，middag表示的时间段要长得多，可以从中午一直到晚上，对于大多数人来说，middag即从中午12点到下午6点。

再比如，namiddag。在比利时，这个词表示中午之后的一段时间，一般从下午1点或者2点开始，直到下午6点，与晚上相衔接。在荷兰，namiddag是middag的后半部分，大约是下午4点到6点这个时间段。就像ochtend一样，虽然荷兰人和弗莱芒人在namiddag这个概念上也有重合，但它们具体所指的时间段仍然不同。

要避免因为上述差异带来的尴尬，在约会时，双方最好具体到某个钟点，比如约在下午3点，虽然荷兰人心里会认为3点不是下午而是中午，但比利时人至少不会因为这样的误会而干等对方一个小时。

说起middag，voormiddag和namiddag，突然想起之前在根特大学的一个博士生，他的英语说得很溜，但总是随口把“上午”说成beforenoon。我们对他的造词能力哭笑不得，不过人家在逻辑上确实没有毛病，和noon、afternoon完美自洽。