作为一个十几年以来的传统，过去这个周末我们和几家朋友一起在比利时南部度过。大家一起吃吃喝喝，热热闹闹地过了一个大年。
今年我们选择了Saint-Hubert，这个小镇位于比利时南部的阿登山区，其地名来自于公元七世纪到八世纪列日第一任主教Saint Hubert。Saint Hubert被称为“阿登的使徒”，后被天主教会封为圣人。有意思的是，尽管没有任何证据表明他和数学有什么联系，Saint Hubert还被一些人选择作为“数学家的守护神”（另一位“数学家的守护神”为Saint Barbara，她和数学之间同样缺少明确的联系）。
因此，既然我们在Saint-Hubert迎接新年，一起迎新的还有十来个大大小小的孩子，不如为孩子们准备几个和数学有关的纸牌魔术，将大年初一的晚上命名为“魔术之夜”吧。
万万没有想到的是，除夕之夜的刘谦今年没有找托儿，却以数学中的“约瑟夫问题”为内核表演了一个魔术。
这可是一不小心撞了春晚的题材啊！
关于刘谦这个魔术的揭秘，网上已经有非常多的文章，在这里我们不再赘述。另外，我们曾经在《群芳占花令 众勇掣死签》【1】一文中对《红楼梦》第六十三回占花名游戏中各个角色的位置顺序做过有趣的分析，以及对由此衍生的约瑟夫问题做过详细的介绍。对约瑟夫问题感兴趣的朋友可以移步阅读。
春晚归春晚，我们在Saint Hubert的魔术之夜归魔术之夜。初一，我们准备的三个魔术准时登场。
考虑到十几个孩子的年龄分布，第一个魔术比较简单，适合于和低龄的孩子一起玩。
魔术一过程描述：
魔术师将若干张扑克牌摆放在桌面上，然后转过身背向扑克牌。作为志愿者的孩子可以选择、且只可以选择其中一张扑克牌，将其旋转180度放好。旋转完成后，魔术师转过身重新面对扑克牌，并找出被旋转过的那张扑克牌。
魔术一揭秘关键词：
旋转对称性。
我们在唯思客俱乐部数学兴趣小组B组的活动中对这个魔术做过介绍，这个魔术的关键在于理解扑克牌图案的旋转对称性。
所谓旋转对称性，指的是某个图案围绕某个点旋转一定角度后可以和原图案完全重合。在这个魔术中，志愿者孩子将扑克牌选择180度，所以我们需要考虑的是扑克牌上的图案关于180度的旋转对称性。
大家都知道，扑克牌有四个花色：黑桃、红心、方块和梅花。不难发现，如果分别将这四个花色旋转180度，那么只有方块可以和原来的图案重合，即方块具有180度旋转对称性；而黑桃、红心和梅花都不具备180度旋转对称性。
一张扑克牌是否具有180度旋转对称性，不仅仅取决于花色，还取决于牌的点数。
当点数大于10时，即我们俗话中的花牌J、Q和K，不论什么花色，它们的图案都是具有180度旋转对称性的。
当点数小于等于10时，我们就需要观察其花色、点数以及花色图案在牌面上的排列了。
对于方块来说，原则上，如果花色图案的排列都以扑克牌中心为基准，那么所有的方块都具有180度旋转对称性。然而，扑克牌设计者在方块7这张牌上采取了一个例外：方块7中间的那个方块图案（下图蓝圈中）被向上移动了一段距离。因此，方块7不具有180度旋转对称性。
对于其他三种花色的奇数点数扑克牌，因为这些花色图案本身不具有180度旋转对称性，且花色图案的个数为奇数，所以这些扑克牌肯定不具有180度旋转对称性。下图为一些例子。
对于其他三种花色的偶数点数扑克牌来说，2、4、10这三张扑克牌具有180度旋转对称性，因为这些图案分别以一列2个，两列各2个，和三列4个、 2个、 4个的形式排列，这样的排列方式本身具有180度旋转对称性。下图为一些例子。
而对于6和8这两张扑克牌，尽管点数为偶数，但这些图案分别以两列各3个，和三列3个、2个、3个的形式排列，因为存在图案个数为奇数（3个）的列，且图案本身不具有180度旋转对称性，所以这些扑克牌不具有这样的对称性。下图为两个例子。
掌握了扑克牌的旋转对称性，魔术师的工作就很简单了：
魔术师只需选择若干不具有180度旋转对称性的扑克牌，或者再加上最多1张具有旋转对称性的扑克牌。他首先记住每一张扑克牌上不对称花色图案的指向，当志愿者孩子将其中一张扑克牌旋转180度之后，魔术师如果发现某张牌上图案的指向发生了变化，那么就可以将其指认出来；如果没有发现任何指向发现了变化，那么志愿者孩子旋转的就是那张具有旋转对称性的扑克牌。
比如，在以下这组扑克牌中，只有黑桃K具有180度旋转对称性，魔术师事先将其他扑克牌中黑桃和红心的尖儿、方块7中间一列的方块、以及草花的花柄朝上摆放，作为特定的指向（蓝圈）。
这样，如果魔术师发现黑桃或者红心的尖儿、方块7中间一列的方块、或者草花的花柄改为朝下，那么他可以立刻找出这一张扑克牌；否则，被旋转的扑克牌就是黑桃K。
魔术一比较简单，在我们的魔术之夜，有好几个没有参加过兴趣小组的孩子也很快发现了这个魔术的秘诀。
魔术二过程描述：
魔术二由魔术师和他的助手配合进行。
魔术师先背对游戏桌，他的助手从孩子中召集五名志愿者，然后拿出一副去掉了大小王的普通扑克牌。志愿者们洗好牌，每个人从牌堆中挑选出一张交给助手。助手将这五张牌按照一定顺序、背面朝上地放在桌面上。然后魔术师转过身来，依次翻开上面四张，最后准确地说出第5张牌的花色和点数。
魔术二揭秘关键词：
抽屉原理，以及全排列编码。
这个魔术的设计十分巧妙，我们在《课堂上来不及思考的数学》【2】一书中曾经介绍过这个魔术，以下的揭秘内容节选、整理自这本书。
假设翻出的前4张牌依次为：方块Q、红桃2、梅花J和红桃4，那么魔术师可以准确地猜出第5张牌为方块2。
又假设翻出的前4张牌依次为：黑桃2、红桃5、方块7和梅花K，那么魔术师可以准确地猜出第5张牌为黑桃8。
一副牌52张，去掉4张翻开的明牌，还剩下48张，显然魔术师依靠的并不是运气；他和助手之间一定存在着某种约定，助手将某种信息通过这4张明牌的排列传给了魔术师。不过，这4张明牌也是由志愿者们随机选定的，从52张牌里选4张，这将是一个超过27万的组合数。那么，助手和魔术师之间究竟有着怎样的约定，才可以在这种表面随机性的背后传递足够的确定性信息呢？
在我们魔术之夜的表演过程中，孩子们很快发现了一个规律：在这两轮魔术表演中，最后那张谜底牌的花色都和第一张明牌的花色相同。
容易知道，根据抽屉原理：随机选择的5张牌最多只有4种花色可能，所以其中至少有2张牌的花色一定相同。因为选择哪张牌作为谜底牌是由助手决定的，所以魔术师和助手事先完全可以作如下约定：助手将两张花色相同的牌分别置于第一张和最后一张，看到第一张明牌后，魔术师就知道谜底牌的花色了。
谜底牌的花色问题已经得到解决，那么魔术师又是如何知道它的点数呢？
同花色的牌中已经有1张当了明牌，因此谜底牌可能的点数只有12种。如果我们将A – K这13个点数均匀地分布在一个圆周，设两个相邻点数之间的劣弧弧长为1，那么整个圆周长为13。如果在这13个点数中任意取两个点，因为它们之间的劣弧和优弧的长度之和恒为13，所以劣弧的长度一定小于等于6。
将3张大小不同的牌进行排列，可以得到P(3, 3)一共6种不同的排列方式，每一种排列方式可以对应地约定为一个劣弧长度。比如：
| 第2张明牌 | 第3张明牌 | 第4张明牌 | 约定的劣弧长度 |
| 小 | 中 | 大 | 1 |
| 小 | 大 | 中 | 2 |
| 中 | 小 | 大 | 3 |
| 中 | 大 | 小 | 4 |
| 大 | 小 | 中 | 5 |
| 大 | 中 | 小 | 6 |
扑克牌任意两张牌之间是否可以确定大小呢？当然可以！类似于桥牌中的约定，四个花色从大到小依次为黑桃、红桃、方块和梅花，在这种先比较花色大小的约定下，红桃3大于方块7，而方块10也大于梅花Q。同样，也可以约定先比较点数大小，点数相同时再比较花色大小，比如红桃3小于方块7，但大于草花3。
综上，按照先比较花色再比较点数的约定，魔术二的奥秘渐渐浮出水面：在拿到志愿者选定的5张牌后，助手先挑出两张花色相同的牌（有两组花色相同时，可以随机取其中一组；有超过2张花色相同时，可以随机取其中两张），按照顺时针方向确定两张牌中的劣弧起点和终点（比如，5和10的劣弧起点为5、终点为10；3和J的劣弧起点为J，终点为3），将起点牌作为第1张明牌，将终点牌作为谜底牌，再根据劣弧的长度，按照上面表格约定的对应关系和剩下3张牌的实际花色和点数，将3张牌依次排列为第2张、第3张和第4张明牌。
在第一轮表演中，助手拿到了梅花J、方块2、方块Q、红桃2和红桃4，因为在方块和红桃中都出现了两张牌，助手随机选择了方块，2和Q之间的劣弧起点为Q，终点为2，所以方块Q成了第1张明牌，方块2为谜底牌，劣弧长度为3，对应的3张牌排列为“中小大”，所以红桃2、梅花J和红桃4依次成为第2张、第3张和第4张明牌。魔术师方面，他看到的4张明牌分别为方块Q、红桃2、梅花J和红桃4，按照事先的约定，谜底牌是方块，劣弧起点为Q，按照对应关系劣弧长度为3，所以他猜出来谜底牌为方块2。
在我们魔术之夜的表演过程中，孩子们能够发现点数由第2、第3和第4张扑克牌决定，但尚无人能够发现这个魔术最后的诀窍。不过在进行讲解后，年龄较大的孩子可以理解通过6种不同排列来编码6个数字，再通过第一张扑克牌的点数计算得到谜底牌的点数。
魔术三过程描述：
志愿者孩子随意选择27张不同的扑克牌（可以包括大小王），在心里记住其中一张，并将牌堆洗好交给魔术师。魔术师依次以以下3种顺序进行发牌，将这27张扑克牌面朝上一一排列成3行9列，并向志愿者孩子询问他心中的那张扑克牌位于第几行，在得到答案后再以同样的顺序将牌收回成牌堆。在依次得到3次回答后，魔术师准确说出这张扑克牌的花色和点数。
发牌顺序1：依列（如下图）将27张牌排列成3行9列。
发牌顺序2：依九宫格（如下图）将27张牌排列成3行9列。
发牌顺序3：依行（如下图）将27张牌排列成3行9列。
魔术三揭秘关键词：
三进制。
对于魔术师来说，这个魔术最大的难度在于牌堆和3行9列排列之间的3次发牌和收牌过程，不能在发牌和收牌的顺序上出现差错，否则将前功尽弃。
而对于观众和孩子们来说，破解这个魔术最大的难度也在于洞察这3种发牌顺序背后隐含的数学规律。
如果我们将牌堆的第一张牌编号为0，第二张牌编号为1，……直至最后一张牌编号为26，那么按照第一种发牌顺序，我们将得到如下发牌结果：
第一行：24，21，18，15，12，9，6，3，0
第二行：25，22，19，16，13，10，7，4，1
第三行：26，23，20，17，14，11，8，5，2
按照第二种发牌顺序，得到的发牌结果将为：
第一行：20，19，18，11，10，9，2，1，0
第二行：23，22，21，14，13，12，5，4，3
第三行：26，25，24，17，16，15，8，7，6
按照第三种发牌顺序，得到的发牌结果将为：
第一行：8，7，6，5，4，3，2，1，0
第二行：17，16，15，14，13，12，11，10，9
第三行：26，25，24，23，22，21，20，19，18
在游戏过程中，有孩子已经注意到第一张牌在所有三种发牌顺序中都将在右上角出现，同样，最后一张牌也都将在左下角出现。除此之外，似乎很难发现这背后还有别的什么玄机。
现在，我们将十进制的编号用三进制来表示，并且将第一行的行号标记为0，第二行的行号标记为1，第三行的行号标记为2。
那么，按照第一种发牌顺序，得到的发牌结果将为：
行号0：220，210，200，120，110，100，020，010，000
行号1：221，211，201，121，111，101，021，011，001
行号2：222，212，202，122，112，102，022，012，002
按照第二种发牌顺序，得到的发牌结果将为：
行号0：202，201，200，102，101，100，002，001，000
行号1：212，211，210，112，111，110，012，011，010
行号2：222，221，220，122，121，120，022，021，020
按照第三种发牌顺序，得到的发牌结果将为：
行号0：022，021，020，012，011，010，002，001，000
行号1：122，121，120，112，111，110，102，101，100
行号2：222，221，220，212，211，210，202，201，200
用三进制表示后，这个魔术的秘诀就揭晓了。
我们注意到：
在第一种发牌顺序得到的排列中，最后一位数字为0的编号全部位于行号为0的那一行，最后一位数字为1的编号全部位于行号为1的那一行，而最后一位数字为2的编号全部位于行号为2的那一行。
类似地，在第二种发牌顺序得到的排列中，中间一位数字为0的编号全部位于行号为0的那一行，中间一位数字为1的编号全部位于行号为1的那一行，而中间一位数字为2的编号全部位于行号为2的那一行。
同样，在第三种发牌顺序得到的排列中，第一位数字为0的编号全部位于行号为0的那一行，第一位数字为1的编号全部位于行号为1的那一行，而第一位数字为2的编号全部位于行号为2的那一行。
因此，如果志愿者孩子心中的扑克牌在第一种发牌顺序中的行号为x，在第二种发牌顺序中的行号为y，在第二种发牌顺序中的行号为z，那么这张牌在牌堆里的顺序就是(zyx)3。
而对于魔术师来说，他只须在心里先将(yx)3转换成十进制，就可以知道这张扑克牌在第三种发牌顺序中将在哪一列出现。待第三次发牌结束，志愿者孩子说出扑克牌所在行时，魔术师立刻可以确认这张扑克牌的位置，从而记住这张扑克牌的花色和大小，待第三次收回牌堆后，再假装推理一番，最后准确地说出答案。
在我们的游戏以及后面的讲解过程中，孩子们还很难完全理解以上的换算原理。虽然数的进制已经在兴趣小组的活动中进行过介绍，但介绍的内容集中在常见的2进制，8进制和16进制上，孩子们还很难理解3进制以及3进制表示法在这个魔术中起到的关键作用。
最后，我们以一场吃吃喝喝热热闹闹地结束了新年的第一天。
参考出处：
Sqr5's blog 