比利时的那些事儿

小荷才露尖尖角

May 23, 2024May 27, 2024 Athlon_BELeave a comment

初夏的鲁汶，雨后初霁。虽然阳光普照，但空气中还是带着一丝凉意。

从市中心俗称“拉肚子”的停车场走到以鲁汶大学前校长Pieter De Somer教授命名的会场，步行只需大约五分钟。临近活动开始的时间，会场已经坐了个六七成满，我和几个学生及其家长一起坐在会场的左前方，离主席台十来米距离的位置。

颁奖大会的程序和往年相同。先是VWO主席、鲁汶大学的教授Stefaan Vaes致欢迎辞，简单介绍一下大会的程序，以及袋鼠比赛今年新增的两个年级组比赛。

接着是布鲁塞尔自由大学的Ann Dooms教授关于ChatGPT的一个科普报告，时长一个多小时。怎么说呢，个人认为一个好的科普报告时间应该不超过20分钟，在听众们听得如痴如醉的时刻戛然而止，让人欲罢不能，恨不得立刻上网搜索相关的信息和资源；如果一个报告做了一个多小时，那么听众们就不是被科普了，而是被“免疫”了——下次再听到这个词时，回忆起来的只剩下满满的睡意。

不过，JWO/VWO颁奖大会以一个一小时长的报告开头也是一个惯例，因为奖项公布被安排在学术报告的后面，主办方才不怕你中途退场呢，为了这道主菜，再难吃的头盘你也得吃完。

按惯例，奖项公布环节仍然由鲁汶大学的Paul Igodt教授主持，他先公布出题奖的获得者（今年我又一次侥幸获得了这个奖），然后公布JWO（青少年数学奥林匹克竞赛）的结果，最后公布VWO（弗拉芒数学奥林匹克竞赛）的结果，以及比利时IMO代表队中三名弗拉芒区代表的名单。

因为今年唯思客俱乐部的几个孩子参加的是JWO，所以孩子和家长们对前半程的颁奖结果十分期待，同时也带着几分紧张。

今年进入JWO决赛的选手一共有74名。根据决赛的分数分布，组委会最终设立一等奖1名，二等奖8名，三等奖10名，其他选手获得鼓励奖。一二三等奖加起来一共有19名，获奖人数超过决赛人数的1/4，这在JWO/VWO的历史上并不多见，或许是二三等奖选手的得分比较接近的原因？

唯思客俱乐部今年第一次有学生参加JWO。在一共7名选手中，5名选手是目前俱乐部在读学生，2名选手是俱乐部曾经的学生。在一月份第一轮比赛后，除了一名曾经的学生未能晋级以外，其他6名选手顺利进入第二轮。在二月份的第二轮比赛中，一名三年级和一名二年级的学生未能突围，剩下4名选手进入4月份举行的决赛。

主持人Paul Igodt教授从获得鼓励奖的名单开始宣读，名单是按照姓氏字母顺序排列的，孩子们很清楚自己姓氏的首字母所在的位置，所以当看到自己的名字被跳过、没有被读到时，就意味着自己获得了更高的奖项，那种紧张和开心不亚于乐透开奖。

最终，我们参加决赛的4个孩子中有1人获得了鼓励奖，其他3人获得了二等奖。虽然今年二等奖的得主较多，但一等奖只有1个，所以这3个孩子的成绩在所有74名决赛选手中名列前9位。俱乐部一共7个孩子参赛，4个孩子进入决赛，3个孩子获得二等奖，这个成绩要远远好于弗拉芒大区的任何一所中学。

既然聊到了中学，就多聊几句。

有不少朋友关心：比利时的中学会有奥数培训吗？是否也有奥数成绩一向居前的中学？我对这个问题的回答是：第一，比利时的中学一般不会为奥数给孩子进行额外的培训，甚至不会鼓励学习超前的孩子参加奥数比赛；第二，比利时确实有一些中学的奥数成绩向来就不错，这不是因为学校组织了额外的培训，而是因为学校的生源比较好，同等条件下孩子有竞争力，另外，学校的数学老师相对重视数学竞赛，对孩子们参加竞赛、在竞赛中取得好成绩起到了一定的激励作用。

好几年前，我曾经对若干年间JWO/VWO获奖选手所在中学进行过统计^【¹^】，这几年没有继续跟踪这个数据。下面，我把今年JWO和VWO一共159名决赛选手所在的学校以及他们获得的奖项做了一个小小的统计，学校入围的标准是至少有两名学生进入了今年的JWO/VWO决赛，这些学校按照获奖情况和决赛人数排列如下：

学校	决赛人数	一等奖	二等奖	三等奖	鼓励奖
Sint-Albertuscollege (Heverlee)	7	0	1	1	5
Sint-Barbaracollege (Gent)	5	0	0	1	4
Sint-Lievenscollege (Gent)	4	0	0	2	2
Sint-Jozefscollege (Aalst)	4	0	0	1	3
Don Boscocollege (Zwijnaarde)	4	0	0	0	4
Sint-Gummaruscollege (Lier)	4	0	0	0	4
Don Bosco College (Hechtel Eksel)	3	0	1	0	2
Heilige-Drievuldigheidscollege (Leuven)	3	0	0	1	2
Sint-Jozef-Klein-Seminarie (Sint-Niklaas)	3	0	0	1	2
College van het Eucharistisch Hart (Essen)	3	0	0	0	3
Sint-Gertrudiscollege (Wetteren)	3	0	0	0	3
Sint-Janscollege Campus Visitatie (Sint-Amandsberg)	3	0	0	0	3
Paridaensinstituut (Leuven)	2	0	1	0	1
Sint-Jozefcollege (Turnhout)	2	0	1	0	1
Sint-Jozefscollege (Torhout)	2	0	1	0	1
Don Bosco Haacht (Haacht)	2	0	0	1	1
GO! Atheneum Mariakerke (Mariakerke)	2	0	0	1	1
Berkenboom Humaniora (Sint-Niklaas)	2	0	0	0	2
Emmaüsinstituut Bovenbouw (Aalter)	2	0	0	0	2
Heilig Hart van Maria (Berlaar)	2	0	0	0	2
Heilig Hartcollege (Wezembeek-Oppem)	2	0	0	0	2
Instituut Klein Seminarie (Roeselare)	2	0	0	0	2
Jan-van-Ruusbroeckcollege (Brussel)	2	0	0	0	2
Maris Stella Instituut (Oostmalle)	2	0	0	0	2
Sint-Franciscus Instituut (Evergem)	2	0	0	0	2
Sint-Maarten-Bovenschool (Beveren)	2	0	0	0	2
Sint-Paulusschool campus College (Waregem)	2	0	0	0	2
Sint-Pieterscollege (Leuven)	2	0	0	0	2
Sint-Pietersinstituut (Gent)	2	0	0	0	2
Sint-Romboutscollege (Mechelen)	2	0	0	0	2

排列在前的几所学校大家都很熟悉：鲁汶的Sint-Albertuscollege，根特的Sint-Barbaracollege、Sint-Lievenscollege、Don Boscocollege，阿尔斯特的Sint-Jozefscollege，利尔的Sint-Gummaruscollege等。一句话，都是大家口碑中的好学校。

今年VWO一等奖1名，二等奖2名，三等奖8名，一共11名，人数偏少。一般来说，JWO也好，VWO也好，获得一二三等奖的人数各在15人左右，今年JWO人数多了，VWO人数少了，总数倒也没变。

和往年相比，今年JWO/VWO的颁奖还有几个点可以总结一下：

首先，获得一二三等奖的女生非常少。如果我没有漏算的话，今年只有一个女生在JWO上获得了三等奖，而VWO没有女生获得前三等奖。目前弗拉芒区数学集训队中只有4个女生，在EMC和EGMO上战斗力都不强，今年决赛中女生人数也不多，成绩也不够突出，所以未来两年弗拉芒女子奥数的水平大概率将持续低迷。

第二，纪念品的变化。以往，连续三年或者四年进入决赛的选手可以获得一个3D打印的门格海绵模型，今年这个纪念品被一顶简易的棒球帽取代，帽子上按照连续进入决赛的年数分布印上1 – 4颗星，这是向足球世界杯冠军队伍队服设计学习的结果。这一变化使得获得纪念品的门槛变低了，第一次进入决赛就有帽子，区别在于帽子上星星的数量。

第三，弗拉芒区IMO队员选择捉襟见肘。弗拉芒大区的几名队员在EMC上成绩如何，目前外人不得而知。去年年底举行的比赛，过了大半年成绩还没有公布，东欧国家的组织工作也是没谁了。不过，从BxMO上取得的成绩来看，今年弗拉芒区的IMO队员选拔确实碰到了较大的困难，战斗力稍微能拿得出手的选手几乎没有。

最终，三名选手幸运地获得了去英国巴斯的机票——不同于惯例，今年他们在颁奖会场上没有穿印有名字的T恤衫，或许组委会就没有准备？

三名选手中，Anastasios Amvrosiadis获得VWO二等奖，Jonas Boeykens获得VWO三等奖，而四年级的Thomas Audenaert获得JWO一等奖。如果没记错的话，这应该是弗拉芒大区第一次出现JWO选手获得参加IMO资格的情况，组委会进行“断代培养”的意图十分明显。

以成绩论而不以资历论，不墨守成规，也不排斥其他族裔的选手，VWO的这些做法还是非常值得赞赏的。至少，这对于正在唯思客俱乐部学习的孩子们来说，也是一个好消息。

走出会场，夕阳斜斜地躲在梧桐树后面，时间如白马过隙，小荷才露尖尖角，莲叶转眼半遮天。加油吧，少年们！

参考出处：

https://sqr5.wordpress.com/2018/03/05/%E4%B8%80%E7%82%B9%E5%B0%8F%E7%BB%9F%E8%AE%A1/

Numbat 和Quokka是什么鬼？比利时袋鼠数学竞赛今年开始扩容

March 11, 2024 Athlon_BELeave a comment

后天（3月13日），比赛试卷将发送到各个学校

下周四（3月21日），全球袋鼠数学竞赛日

从3月22日到4月25日，各校自行选择竞赛日

2023-2024年度袋鼠数学竞赛即将拉开帷幕，比利时弗拉芒区的竞赛日程如上，大多数孩子将在下周参赛，部分孩子因为学校的自行安排，可能在下周到4月25日之间的某一天参加比赛。

袋鼠数学竞赛，在比利时称为kangoeroewedstrijd，是一项面对中小学生的全球规模最大的数学竞赛。该竞赛源于澳大利亚著名数学家Peter O’Halloran在20世纪80年代发起的一项数学竞赛。1991年，两名法国教师将这项比赛引入法国，为了向澳洲数学家致敬，他们将竞赛命名为Kangaroo。此后，袋鼠数学竞赛在欧洲乃至全球其他国家大受欢迎，目前已经成为全球参赛人数最多的中小学数学竞赛。

不过，尽管各国的比赛都冠以“袋鼠”的名字，但竞赛的组织、命题、评阅和奖励都由各国自行负责。在比利时的弗拉芒区，每年有10万名以上的中小学生参加袋鼠数学竞赛，很多学校和班级都是全员参赛。这项比赛在比利时的竞赛意味并不强，比赛在校内进行，比赛时间灵活，参赛的孩子都能得到纪念品，所以其目的更多地在于鼓励孩子们学习数学，勇于接受更大的挑战。

根据孩子们所在的年级，比利时的袋鼠数学竞赛分为多个级别，其中：

Wombat面向小学1，2年级的孩子。比赛由15道多选题组成，比赛时间50分钟。因为参赛的孩子年龄较小，所以比赛的第一题由全班集体完成。另外，老师将对题目的题干进行讲解，以弥补孩子们在荷兰语阅读和理解上可能存在的不足。

Springmuis面向小学3，4年级的孩子，Koala面向小学5，6年级的孩子。这两个级别的比赛都由24道多选题组成，比赛时间也为50分钟。在这两个级别的比赛中，老师不会提供额外的帮助。

Wallaroe和Wallabie面向中学1，2年级的孩子，其中，B类（职业中等教育）方向的学生参加Wallaroe比赛，而A类（普通中等教育）方向的学生参加Wallabie比赛，两个比赛难度不同，后者难度更高。比赛由24道多选题组成，比赛时间为75分钟。

在弗拉芒区政府的推动下，从今年开始，袋鼠数学竞赛新增两个级别的比赛。其中：

Numbat面对双重（普通中等教育方向和职业中等教育方向）可能选择的中学3年级以上的学生；

Quakka面对选择职业中等教育方向的中学3年级以上的学生。

新增的两个级别的比赛有着不同于其他五个级别的特点。首先，它们允许孩子们以个人、或者2-3人团体的形式参赛，其次比赛除了13道多选题，还有2道开放式问题。比赛时间为50分钟。

Numbat级别比赛例题：

Quakka级别比赛例题：

题目的难度不作评价，但新增两个级别的目的在于给与选择和可能选择职业中等教育方向的学生更多参与数学竞赛的可能，所以可以看得出来，其题目的背景设定也与职业教育密切相关。

袋鼠数学竞赛的扩容，使得中学3年级以上、非普通中等教育方向的学生有了参加数学竞赛的可能，这项赛事是JWO/VWO的一项有益的补充，另外，其2-3人为一组的组团形式也给比赛增添了更多的趣味。

当然，在奥林匹克竞赛方面，参加并在JWO/VWO中脱颖而出仍然是通往IMO唯一的途径，这也是那些在数竞方面有兴趣、有能力的孩子必须尝试的道路。

唯思客俱乐部魔术之夜

February 13, 2024 Athlon_BELeave a comment

作为一个十几年以来的传统，过去这个周末我们和几家朋友一起在比利时南部度过。大家一起吃吃喝喝，热热闹闹地过了一个大年。

今年我们选择了Saint-Hubert，这个小镇位于比利时南部的阿登山区，其地名来自于公元七世纪到八世纪列日第一任主教Saint Hubert。Saint Hubert被称为“阿登的使徒”，后被天主教会封为圣人。有意思的是，尽管没有任何证据表明他和数学有什么联系，Saint Hubert还被一些人选择作为“数学家的守护神”（另一位“数学家的守护神”为Saint Barbara，她和数学之间同样缺少明确的联系）。

因此，既然我们在Saint-Hubert迎接新年，一起迎新的还有十来个大大小小的孩子，不如为孩子们准备几个和数学有关的纸牌魔术，将大年初一的晚上命名为“魔术之夜”吧。

万万没有想到的是，除夕之夜的刘谦今年没有找托儿，却以数学中的“约瑟夫问题”为内核表演了一个魔术。

这可是一不小心撞了春晚的题材啊！

关于刘谦这个魔术的揭秘，网上已经有非常多的文章，在这里我们不再赘述。另外，我们曾经在《群芳占花令众勇掣死签》【1】一文中对《红楼梦》第六十三回占花名游戏中各个角色的位置顺序做过有趣的分析，以及对由此衍生的约瑟夫问题做过详细的介绍。对约瑟夫问题感兴趣的朋友可以移步阅读。

春晚归春晚，我们在Saint Hubert的魔术之夜归魔术之夜。初一，我们准备的三个魔术准时登场。

考虑到十几个孩子的年龄分布，第一个魔术比较简单，适合于和低龄的孩子一起玩。

魔术一过程描述：

魔术师将若干张扑克牌摆放在桌面上，然后转过身背向扑克牌。作为志愿者的孩子可以选择、且只可以选择其中一张扑克牌，将其旋转180度放好。旋转完成后，魔术师转过身重新面对扑克牌，并找出被旋转过的那张扑克牌。

魔术一揭秘关键词：

旋转对称性。

我们在唯思客俱乐部数学兴趣小组B组的活动中对这个魔术做过介绍，这个魔术的关键在于理解扑克牌图案的旋转对称性。

所谓旋转对称性，指的是某个图案围绕某个点旋转一定角度后可以和原图案完全重合。在这个魔术中，志愿者孩子将扑克牌选择180度，所以我们需要考虑的是扑克牌上的图案关于180度的旋转对称性。

大家都知道，扑克牌有四个花色：黑桃、红心、方块和梅花。不难发现，如果分别将这四个花色旋转180度，那么只有方块可以和原来的图案重合，即方块具有180度旋转对称性；而黑桃、红心和梅花都不具备180度旋转对称性。

一张扑克牌是否具有180度旋转对称性，不仅仅取决于花色，还取决于牌的点数。

当点数大于10时，即我们俗话中的花牌J、Q和K，不论什么花色，它们的图案都是具有180度旋转对称性的。

当点数小于等于10时，我们就需要观察其花色、点数以及花色图案在牌面上的排列了。

对于方块来说，原则上，如果花色图案的排列都以扑克牌中心为基准，那么所有的方块都具有180度旋转对称性。然而，扑克牌设计者在方块7这张牌上采取了一个例外：方块7中间的那个方块图案（下图蓝圈中）被向上移动了一段距离。因此，方块7不具有180度旋转对称性。

对于其他三种花色的奇数点数扑克牌，因为这些花色图案本身不具有180度旋转对称性，且花色图案的个数为奇数，所以这些扑克牌肯定不具有180度旋转对称性。下图为一些例子。

对于其他三种花色的偶数点数扑克牌来说，2、4、10这三张扑克牌具有180度旋转对称性，因为这些图案分别以一列2个，两列各2个，和三列4个、 2个、 4个的形式排列，这样的排列方式本身具有180度旋转对称性。下图为一些例子。

而对于6和8这两张扑克牌，尽管点数为偶数，但这些图案分别以两列各3个，和三列3个、2个、3个的形式排列，因为存在图案个数为奇数（3个）的列，且图案本身不具有180度旋转对称性，所以这些扑克牌不具有这样的对称性。下图为两个例子。

掌握了扑克牌的旋转对称性，魔术师的工作就很简单了：

魔术师只需选择若干不具有180度旋转对称性的扑克牌，或者再加上最多1张具有旋转对称性的扑克牌。他首先记住每一张扑克牌上不对称花色图案的指向，当志愿者孩子将其中一张扑克牌旋转180度之后，魔术师如果发现某张牌上图案的指向发生了变化，那么就可以将其指认出来；如果没有发现任何指向发现了变化，那么志愿者孩子旋转的就是那张具有旋转对称性的扑克牌。

比如，在以下这组扑克牌中，只有黑桃K具有180度旋转对称性，魔术师事先将其他扑克牌中黑桃和红心的尖儿、方块7中间一列的方块、以及草花的花柄朝上摆放，作为特定的指向（蓝圈）。

这样，如果魔术师发现黑桃或者红心的尖儿、方块7中间一列的方块、或者草花的花柄改为朝下，那么他可以立刻找出这一张扑克牌；否则，被旋转的扑克牌就是黑桃K。

魔术一比较简单，在我们的魔术之夜，有好几个没有参加过兴趣小组的孩子也很快发现了这个魔术的秘诀。

魔术二过程描述：

魔术二由魔术师和他的助手配合进行。

魔术师先背对游戏桌，他的助手从孩子中召集五名志愿者，然后拿出一副去掉了大小王的普通扑克牌。志愿者们洗好牌，每个人从牌堆中挑选出一张交给助手。助手将这五张牌按照一定顺序、背面朝上地放在桌面上。然后魔术师转过身来，依次翻开上面四张，最后准确地说出第5张牌的花色和点数。

魔术二揭秘关键词：

抽屉原理，以及全排列编码。

这个魔术的设计十分巧妙，我们在《课堂上来不及思考的数学》【2】一书中曾经介绍过这个魔术，以下的揭秘内容节选、整理自这本书。

假设翻出的前4张牌依次为：方块Q、红桃2、梅花J和红桃4，那么魔术师可以准确地猜出第5张牌为方块2。

又假设翻出的前4张牌依次为：黑桃2、红桃5、方块7和梅花K，那么魔术师可以准确地猜出第5张牌为黑桃8。

一副牌52张，去掉4张翻开的明牌，还剩下48张，显然魔术师依靠的并不是运气；他和助手之间一定存在着某种约定，助手将某种信息通过这4张明牌的排列传给了魔术师。不过，这4张明牌也是由志愿者们随机选定的，从52张牌里选4张，这将是一个超过27万的组合数。那么，助手和魔术师之间究竟有着怎样的约定，才可以在这种表面随机性的背后传递足够的确定性信息呢？

在我们魔术之夜的表演过程中，孩子们很快发现了一个规律：在这两轮魔术表演中，最后那张谜底牌的花色都和第一张明牌的花色相同。

容易知道，根据抽屉原理：随机选择的5张牌最多只有4种花色可能，所以其中至少有2张牌的花色一定相同。因为选择哪张牌作为谜底牌是由助手决定的，所以魔术师和助手事先完全可以作如下约定：助手将两张花色相同的牌分别置于第一张和最后一张，看到第一张明牌后，魔术师就知道谜底牌的花色了。

谜底牌的花色问题已经得到解决，那么魔术师又是如何知道它的点数呢？

同花色的牌中已经有1张当了明牌，因此谜底牌可能的点数只有12种。如果我们将A – K这13个点数均匀地分布在一个圆周，设两个相邻点数之间的劣弧弧长为1，那么整个圆周长为13。如果在这13个点数中任意取两个点，因为它们之间的劣弧和优弧的长度之和恒为13，所以劣弧的长度一定小于等于6。

将3张大小不同的牌进行排列，可以得到P(3, 3)一共6种不同的排列方式，每一种排列方式可以对应地约定为一个劣弧长度。比如：

第2张明牌	第3张明牌	第4张明牌	约定的劣弧长度
小	中	大	1
小	大	中	2
中	小	大	3
中	大	小	4
大	小	中	5
大	中	小	6

扑克牌任意两张牌之间是否可以确定大小呢？当然可以！类似于桥牌中的约定，四个花色从大到小依次为黑桃、红桃、方块和梅花，在这种先比较花色大小的约定下，红桃3大于方块7，而方块10也大于梅花Q。同样，也可以约定先比较点数大小，点数相同时再比较花色大小，比如红桃3小于方块7，但大于草花3。

综上，按照先比较花色再比较点数的约定，魔术二的奥秘渐渐浮出水面：在拿到志愿者选定的5张牌后，助手先挑出两张花色相同的牌（有两组花色相同时，可以随机取其中一组；有超过2张花色相同时，可以随机取其中两张），按照顺时针方向确定两张牌中的劣弧起点和终点（比如，5和10的劣弧起点为5、终点为10；3和J的劣弧起点为J，终点为3），将起点牌作为第1张明牌，将终点牌作为谜底牌，再根据劣弧的长度，按照上面表格约定的对应关系和剩下3张牌的实际花色和点数，将3张牌依次排列为第2张、第3张和第4张明牌。

在第一轮表演中，助手拿到了梅花J、方块2、方块Q、红桃2和红桃4，因为在方块和红桃中都出现了两张牌，助手随机选择了方块，2和Q之间的劣弧起点为Q，终点为2，所以方块Q成了第1张明牌，方块2为谜底牌，劣弧长度为3，对应的3张牌排列为“中小大”，所以红桃2、梅花J和红桃4依次成为第2张、第3张和第4张明牌。魔术师方面，他看到的4张明牌分别为方块Q、红桃2、梅花J和红桃4，按照事先的约定，谜底牌是方块，劣弧起点为Q，按照对应关系劣弧长度为3，所以他猜出来谜底牌为方块2。

在我们魔术之夜的表演过程中，孩子们能够发现点数由第2、第3和第4张扑克牌决定，但尚无人能够发现这个魔术最后的诀窍。不过在进行讲解后，年龄较大的孩子可以理解通过6种不同排列来编码6个数字，再通过第一张扑克牌的点数计算得到谜底牌的点数。

魔术三过程描述：

志愿者孩子随意选择27张不同的扑克牌（可以包括大小王），在心里记住其中一张，并将牌堆洗好交给魔术师。魔术师依次以以下3种顺序进行发牌，将这27张扑克牌面朝上一一排列成3行9列，并向志愿者孩子询问他心中的那张扑克牌位于第几行，在得到答案后再以同样的顺序将牌收回成牌堆。在依次得到3次回答后，魔术师准确说出这张扑克牌的花色和点数。

发牌顺序1：依列（如下图）将27张牌排列成3行9列。

发牌顺序2：依九宫格（如下图）将27张牌排列成3行9列。

发牌顺序3：依行（如下图）将27张牌排列成3行9列。

魔术三揭秘关键词：

三进制。

对于魔术师来说，这个魔术最大的难度在于牌堆和3行9列排列之间的3次发牌和收牌过程，不能在发牌和收牌的顺序上出现差错，否则将前功尽弃。

而对于观众和孩子们来说，破解这个魔术最大的难度也在于洞察这3种发牌顺序背后隐含的数学规律。

如果我们将牌堆的第一张牌编号为0，第二张牌编号为1，……直至最后一张牌编号为26，那么按照第一种发牌顺序，我们将得到如下发牌结果：

第一行：24，21，18，15，12，9，6，3，0
第二行：25，22，19，16，13，10，7，4，1
第三行：26，23，20，17，14，11，8，5，2

按照第二种发牌顺序，得到的发牌结果将为：

第一行：20，19，18，11，10，9，2，1，0
第二行：23，22，21，14，13，12，5，4，3
第三行：26，25，24，17，16，15，8，7，6

按照第三种发牌顺序，得到的发牌结果将为：

第一行：8，7，6，5，4，3，2，1，0
第二行：17，16，15，14，13，12，11，10，9
第三行：26，25，24，23，22，21，20，19，18

在游戏过程中，有孩子已经注意到第一张牌在所有三种发牌顺序中都将在右上角出现，同样，最后一张牌也都将在左下角出现。除此之外，似乎很难发现这背后还有别的什么玄机。

现在，我们将十进制的编号用三进制来表示，并且将第一行的行号标记为0，第二行的行号标记为1，第三行的行号标记为2。

那么，按照第一种发牌顺序，得到的发牌结果将为：

行号0：220，210，200，120，110，100，020，010，000
行号1：221，211，201，121，111，101，021，011，001
行号2：222，212，202，122，112，102，022，012，002

按照第二种发牌顺序，得到的发牌结果将为：

行号0：202，201，200，102，101，100，002，001，000
行号1：212，211，210，112，111，110，012，011，010
行号2：222，221，220，122，121，120，022，021，020

按照第三种发牌顺序，得到的发牌结果将为：

行号0：022，021，020，012，011，010，002，001，000
行号1：122，121，120，112，111，110，102，101，100
行号2：222，221，220，212，211，210，202，201，200

用三进制表示后，这个魔术的秘诀就揭晓了。

我们注意到：

在第一种发牌顺序得到的排列中，最后一位数字为0的编号全部位于行号为0的那一行，最后一位数字为1的编号全部位于行号为1的那一行，而最后一位数字为2的编号全部位于行号为2的那一行。

类似地，在第二种发牌顺序得到的排列中，中间一位数字为0的编号全部位于行号为0的那一行，中间一位数字为1的编号全部位于行号为1的那一行，而中间一位数字为2的编号全部位于行号为2的那一行。

同样，在第三种发牌顺序得到的排列中，第一位数字为0的编号全部位于行号为0的那一行，第一位数字为1的编号全部位于行号为1的那一行，而第一位数字为2的编号全部位于行号为2的那一行。

因此，如果志愿者孩子心中的扑克牌在第一种发牌顺序中的行号为x，在第二种发牌顺序中的行号为y，在第二种发牌顺序中的行号为z，那么这张牌在牌堆里的顺序就是(zyx)₃。

而对于魔术师来说，他只须在心里先将(yx)₃转换成十进制，就可以知道这张扑克牌在第三种发牌顺序中将在哪一列出现。待第三次发牌结束，志愿者孩子说出扑克牌所在行时，魔术师立刻可以确认这张扑克牌的位置，从而记住这张扑克牌的花色和大小，待第三次收回牌堆后，再假装推理一番，最后准确地说出答案。

在我们的游戏以及后面的讲解过程中，孩子们还很难完全理解以上的换算原理。虽然数的进制已经在兴趣小组的活动中进行过介绍，但介绍的内容集中在常见的2进制，8进制和16进制上，孩子们还很难理解3进制以及3进制表示法在这个魔术中起到的关键作用。

最后，我们以一场吃吃喝喝热热闹闹地结束了新年的第一天。

参考出处：

天黑请遛狗

August 21, 2023 Athlon_BELeave a comment

今年有厄尔尼诺，全球气候异常。国内高温、暴雨频发，比利时倒是“反常”地凉爽，整个夏天气温都在20度出头徘徊。直到这两天，气温才慢慢爬到了28度，正日子没赶上，权当是秋老虎吧。日头下走走还是蛮晒的，所以只好把遛狗放在了傍晚。

昨天在河边遛狗，不经意间抬头看到满天晚霞，一看时间才8点3刻。又走了十来分钟，眼见着太阳就悄然下去了。如果和六月底相比，现在的日落时间已经提前差不多2个小时了。

论纬度，比利时和黑龙江省差不多。夏天日照时间长，冬天则两头黑。上图是比利时平均的日出/日落时间图^【¹^】，可以大致看出：除去日落后或日出前的微明时间，夏至附近白昼的平均时长约为16.5个小时，夜晚只有7.5个小时；冬至时则相反。

有朋友要问了：这曲线咋不连续呢，中间一段似乎拱了起来？

这是因为比利时仍然在实行夏令时，每年3月底时钟拨快一个小时，10月底再把时钟拨回来。所以在图上，夏天的这一段就人为地给推迟了一个小时。

好了，现在来考虑这个问题：如果在夏至这天，比利时平均白昼时长为16.5个小时，那么它所处的平均纬度是多少？

侃哥在朋友圈里说他试了试线性插值，发现误差很大。事实上，这个问题比线性插值要复杂不少，用心算还真的解决不了。

先来复习一下地理。

上图中，假设太阳位于左边的远处，太阳光从左到右平行地照射过来。我们在黄道平面上从侧面观察地球，NP为北极，SP为南极，直线l为地球自转轴。直线m为晨昏线，左半个地球为白昼，右半个地球为夜晚。

直线l和m的夹角α即黄道平面和赤道平面的夹角。在北半球，从春分到夏至，这个夹角从0°变化到大约23.4°（即黄赤夹角）；从夏至到秋分，它又从23.4°变回到0°。

C为地心，EQ-A和EQ-B为赤道在我们视野中的两个端点。假设EF为某地所在纬线在我们视野中的投影，D为该纬线的圆心，G为该纬线和晨昏线的交点，H为G点在纬线圆直径EF上的投影，在侧视图中，G和H恰好重合。

令地球半径为R，纬线圆半径为r，FC和赤道的夹角β即我们常说的纬度。

显然有r = R∙cosβ，CD = R∙sinβ。

同时DH/CD = tanα，所以有DH = R∙tanα∙sinβ （式1）。

光这么看的话，似乎还找不到和晨昏线的关系。现在我们绕到北极星和北极之间，从北向南俯瞰地球。

在这个视野中，南北极、地心C和纬线圆心D重合，我们可以清晰地看出G和H的关系。注意到晨昏线m在这个视野中呈现为一条经过G的弧线，这是因为我们的视角和地球的自转轴重合，和太阳光的照射方向呈现一定角度。

假设DG和EF的夹角为γ，那么有DH = r∙cosγ。

同时，令该纬度此时夜晚的长度为t小时，那么有(2γ)/(2π) = t/24，即γ = tπ/24。

所以，DH = r∙cos(tπ/24)。

与式1联立，得到R∙tanα∙sinβ = r∙cos(tπ/24)。

将r = R∙cosβ代入，得到：

tanα∙tanβ = cos(tπ/24)

先代入几个特例验证一下这个公式：

1. 春分或者秋分时，不论在何纬度，任何地点的夜晚长度都是12小时。此时，α = 0，所以cos(tπ/24) = 0，tπ/24 = π/2，确实t = 12。

2. 赤道上任意一点，不论在何季节，其夜晚长度都是12小时。此时，β = 0，所以cos(tπ/24) = 0，tπ/24 = π/2，确实t = 12。

3. 夏至时，北极圈出现极昼现象，夜晚长度为0小时。此时，α = 23.4°，β = 66.6°，α和β互为余角，所以tanα∙tanβ = 1，即cos(tπ/24) = 1，tπ/24 = 0，确实t = 0。

现在回到比利时，夏至时白昼平均时长16.5小时，那么夜晚平均时长7.5小时，此时α = 23.4°，所以有

tan(23.4°)∙tanβ = cos(7.5π/24)

计算得到，tan β = √2/2/tan(23.4°) = 1.28。

所以比利时的平均纬度β = arctan(1.28) = 52.0°。这个结果离真实值还是有一定距离的，如果以布鲁塞尔作为比利时的地理中心，其纬度约为50.8°，所以误差差不多有1.2°左右。

注意，这个公式适用于一年四季和全球任意纬度。对于秋分到春分这段时间，只需将α约定为负值，而对于南半球的地点，也只需将β约定为负值即可。

参考出处：

https://www.worlddata.info/europe/belgium/sunset.php

今年，谁是最擅长数学的维维？

March 14, 2023March 14, 2023 Athlon_BELeave a comment

每年的3月14日是“圆周率日”，是数学迷心中的Pi Day，同时也是比利时弗莱芒大区高中生Wiskunnende Wiske竞赛决赛的日子。

荷兰语Wiskunnende Wiske，直译成中文就是“擅长数学的Wiske”，Wiske是比利时系列漫画Suske en Wiske中的主角之一，是一个十多岁的女孩。在中译本中，Wiske被翻译成“维维”。因此，这项比赛可以翻译成“擅长数学的维维”。

“擅长数学的维维”竞赛始于2011年，创始人是今年获得沃尔夫奖的比利时物理和数学家英格丽∙多贝西（Ingrid Daubechies），主办单位是荷语布鲁塞尔自由大学（VUB）。多贝西和布鲁塞尔自由大学创办这个比赛的初衷是想通过这种团队竞赛的形式，激发中学生尤其是女生对数学和科学研究的兴趣，以满足比利时在科学和工程方面对人才的需求。

关于比赛^【¹^】和多贝西^【^{2, 3}^】更多的介绍文章，可以参阅文末的链接。

2022-2023学年的比赛，开始于去年的10月。参赛队伍可以由班级为单位组成，也可以自由组合，每支队伍在10月3日收到第一个任务，他们有三周的时间在课外时间完成。第二个任务在11月14日发出，各队于12月5日之前提交答案。第三个任务则发布于今年的1月9日，同样，任务解答提交的截止日期为三周后的1月30日。

组委会对各队提交上来的解答进行评判，根据解答的正确性和完成情况，组委会从中挑选十几支队伍参加3月14日举行的决赛。决赛对队伍的构成有相对严格的要求，每支队伍最多排出12名学生。

决赛由两种题目构成，一种是常规题，一共5题，答题时长为20分钟或者40分钟；一种是所谓的“红线题”（Rode Draad），“红线题”只有一道，但分为三个小题，每个小题答题时长为20分钟或者40分钟。

决赛的题目虽然比预赛的题目要更难一点，但对于参加过数学竞赛的孩子来说应该不成问题。比如去年决赛的一道常规题：

考虑所有严格介于1/2022和1/2021之间的分数，其中哪个分数的分母最小？

这道题答题时间有20分钟，稍微懂一点点数论的孩子估计只需要用几分钟就能解决。当然，这个竞赛主要面向一般的高中生，而且是团体赛，所以重在参与，重在团队协作。

去年决赛中另有一道40分钟的常规题，其表述是这样的：

有一天，Wiske想知道是否会有这么一个数字，只需要简单地将其个位数移到最左边，就能得到它的两倍。例如，如果526正好是265的两倍，那么256就是符合要求的数——显然，它不符合要求。经过短时间的探索，Wiske惊喜地喊道：“哇！这样的数字当然存在，只不过符合要求的数字最小也是一个18位数！”根据Wiske的提示，你能找出这个符合要求的最小的数吗？

显然，这道题就要稍微难一些，所以给出的答题时间也长一些。

相比之下，红线题的难度要大不少，各队成绩差距的拉开也主要靠红线题。去年决赛的红线题是疫情建模和预测为背景，逐步考查了选手们对概率、条件概率、全概率公式的理解和掌握。

今天是决赛日，一大早某个discord群里就开始热闹了起来。两位参赛选手打开了嘴仗，一位说队中有2位VWO（弗莱芒区数学奥林匹克竞赛）的决赛选手及1位瓦隆区的奥赛选手，根本不用12名队员，6个人就够了；另一位说他们集齐了12位最好的队员，其它队没有机会，咱们走着瞧。

嘴仗打着打着，两位发现自己坐在同一列去往比赛地的火车上，剧情于是转向网友见面的剧本。“我是橙色3号，你们呢？”“蓝色4号，我们队都穿着棕色的校服，你应该很容易找到我们。”……真是不打不相识。

下午5点，“擅长数学的维维”脸书账号^【4】公布了比赛结果。蓝色4号的小哥没有吹牛，他们队获得了第一名。

出席颁奖典礼的多贝西奶奶进入会场，现场掌声雷动。

第一名：来自Sint-Franciscusinstituut, Brakel的De blije bruintjes（快乐的布朗尼）队。果然棕色校服，难怪队名叫做布朗尼！

第二名：来自Sint-Jan Berchmanscollege, Brussel的De Dansende Dino’s（跳着舞的恐龙）队。姑娘们都很漂亮，恐龙在比利时并不是贬义词哈。

第三名：来自Leiepoort campus Sint-Hendrik, Deinze的Hersenbrekende Hendriken（脑洞大开的亨德里克）队。并不是所有的选手都叫亨德里克，而是他们的学校叫做圣-亨德里克。（完全没有影射韩老师的意思。）

最后，那位橙色3号小哥没有站上领奖台，他懊恼地在discord群里说他们团队几乎在所有问题上都搞砸了。

这大概就是比赛的魅力吧。就像比赛的宣传语所说：

“从来就没有失败者，大家都是快乐的赢家！”

参考出处：

JWO/VWO半决赛的几道题

March 12, 2023 Athlon_BELeave a comment

比利时荷语区的中学生数学竞赛分为JWO和VWO两个级别，分别面向3-4年级和5-6年级的学生。

今年JWO和VWO的半决赛于3月8日进行，下面几道题还算有些意思，我们一起来看看。

JWO Q20:

求最大的自然数，其从高位到低位的每一对数字都是一个完全平方数。

选项中给出了几个符合题意的自然数，最后一个选项是“最大的自然数没有在选项中”。

既然是“每一对”数字，那么这些完全平方数都是两位数。两位数的完全平方数有：16，25，36，49，64和81。观察到这些数字无法首尾相连形成一个循环，所以应该存在符合题意的最大自然数。

再观察到这些数字里2，3，5，8和9仅仅出现了一次，所以这个自然数必然以这些数字开头或结尾。最后，从这些平方数里找出首尾相连最长的串，81-16-64-49，即81649是符合题意的最大的自然数。

JWO Q25:

三个实数a，b和c在数轴上的位置如下图所示。哪个选项是一定正确的？

这道题容易出错，关键在于注意到c也可能是负值，所以选项A不一定对。正确选项是E，以上表达都不一定正确。

JWO Q30:

仙境中只生活着精灵和巨魔，巨魔总是撒谎，而精灵总是说真话。现在有5个仙境居民，每个人心中都有一个整数。

第一个人说：“我的数字严格大于1.”第二个人说：“我的数字严格大于2.”依次类推，第五个人说：“我的数字严格大于5。”然后，他们又按照一定的顺序说了第二句话：“我的数字严格小于1”依次类推，直到“我的数字严格小于5。”

这五个人中精灵最多有几个？

这题有意思在于每个人心中的数是个整数。如果可以是小数的话，那么在 (1, 2)，(2, 3)，(3, 4)和(4, 5)四个区间里各取一个数，最多可能有4个精灵。另一个巨魔负责第一轮的“我的数字严格大于5”以及第二轮的“我的数字严格小于1”这两句谎话。

回到“每个人心中的数是个整数”的条件。因为精灵在两轮中说的都是真话，所以精灵们心中的整数一定严格大于1（根据第一轮）、且严格小于5（根据第二轮）。符合这个条件的整数只有2，3，4三个，所以精灵的个数最多有3个。

VWO Q20:

整数a，b和c是一个等差数列的连续三项，如果它们的乘积是一个质数，那么它们的和等于多少？

设这等差数列的三项为m – n，m和m + n，其乘积为m(m² – n²)，为一个质数。

很多朋友都知道，此时m = 1，或者m² – n² = 1。但往往会忽略m = -1，或者m² – n² = -1的情况。在本题中，恰恰m = 1，或者m² – n² = 1无解。而m = -1时，n² – 1是可能为一个质数的，比如n = 2。

由m = -1得出答案：三个数之和3m = -3。

VWO Q24:

在一个精灵和巨魔的聚会上，六个客人坐在同一张圆桌上。精灵们总是说真话，巨魔们总是撒谎。六位客人中的每一位都说：”在我的两个邻居和我正对面的人中，正好有两个精灵”。那张桌子上有多少个精灵？

这道题其实出得不好，因为0个精灵是一个很容易得到的平凡解：每个人都说有精灵存在，如果每个人都是巨魔，那么就符合题意了。

严谨的证明：如果桌上至少有1个精灵，设为A，那么按照它的说法，至少还有其它两个精灵B和C存在。不论B和C是在A的旁边还是对面，它们各自看到了另外两个精灵，这两个精灵中有一个是A，还至少有另外一个D，这样一共至少有A、B、C、D四个精灵。考虑剩下的两个巨魔，每个巨魔的的邻居加上对面的三个人中最多有1个巨魔，其它两个是精灵，这样它说的话和事实相符，与巨魔的人设相矛盾。

因此，桌上没有1个精灵。

VWO Q29：

在一个花瓶里有10个球，编号分别为1到10。丹尼斯胡乱地从花瓶里拿了三个球，按顺序排列，没有放回去。第三个球上的数字是前两个球上数字的平均值的概率是多少？

不设任何条件，任意从10个球里排列出3个的方式有P(10, 3) = 720种。

考虑第三个球的编号。

如果为1，那么不论前面2个球是多少，1都不可能是它们的平均数。

如果为2，前面2个球只能为1和3，考虑2个球的顺序，一共有2种。

如果为3，前面2个球可以为1和5，2和4，这样一共有4种。

如果为4，前面2个球可以为1和7，2和6，3和5，这样一共有6种。

如果为5，前面2个球可以为1和9，2和8，3和7，4和6，这样一共有8种。

如果为6，前面2个球可以为2和10，3和9，4和8，5和7，这样一共有8种。

如果为7，前面2个球可以为4和10，5和9，6和8，这样一共有6种。

如果为8，前面2个球可以为6和10，7和9，这样一共有4种。

如果为9，前面2个球只能为8和10，这样一共有2种。

如果为10，不论前面2个球是多少，10都不可能是它们的平均数。

这样，所求的概率为2(2 + 4 + 6 + 8)/720 = 1/18。

OMB半决赛的几道题

March 12, 2023March 12, 2023 Athlon_BELeave a comment

3月8日，比利时两大地区分别举行中学生数学竞赛半决赛。南部法语区和首都布鲁塞尔的学校参加OMB三个级别Mini，Midi和Maxi的比赛，北部荷语区的学校参加VWO两个级别JWO和VWO的比赛。

比利时中学生数学竞赛的水平没法和国内比，也比不上美、英、加、澳以及东欧国家的水平，其难度比周边的法、德、荷要低。虽说已经到了半决赛，但其整体难度大概就是国内小学到初中的奥数水平吧。

下面在OMB三个级别半决赛的题目中，列举几道我觉得还是有些意思的。

Mini Q30:

一个正方形被分成了4个长方形，其中3个长方形的尺寸分别为4×6，5×9和2×11。第4个长方形的面积是多少？

这道题画一画能得到结果，估计这也是出题者的意思。

不过如果严谨地来说，把一个正方形（甚至长方形）分成4个长方形，一个隐含的结论就是这4个长方形在正方形内部形成最多3条边界。如果形成了4条边界，那么必然会出现第5块区域。这个结论画一画不难，证明起来可能小学的知识就不够用了。

根据这个结论，具体的划分存在多种情况：比如3条边界互相平行，或者1条边界长度等于正方形的边长、另外2条边界在这条边界同一侧或者不同侧。根据不同的情况，观察到已知的3个长方形尺寸的6个数字{2, 4, 5, 6, 9, 11}中没有一对数字相等，就可以得出只有以下这种情况是符合题意的：

设未知的长方形的尺寸为h₂×v₂。考虑其它3个长方形，有h₁ + h₃ = h₄ = v₁ + v₄，即，从{2, 4, 5, 6, 9, 11}中找出两组和相等的数字，以及另一个等于这个和的数字。很显然，2 + 9 = 5 + 6 = 11。因此，未知长方形的面积为11² – 4×6 – 5×9 – 2×11 = 30。

有人可能会说，从“必然有1条边界的长度等于正方形的边长”这个结论就可以得出11是正方形的边长了，因为11是6个数字中最大的一个。这么做，答案当然是对的，但不严谨；因为边长最大的那个长方形有可能是第4个长方形，其边长未知。

Midi Q11:

正整数a，b，c和d满足a < 2b，b < 3c，c < 4d，d < 40。a的最大值是？

这道题很容易，但也很容易出错，其关键在于理解不等式整数解的特点。

如果小朋友直接用乘法逐个替代不等式中的变量，那就掉坑里了。比如：

d < 40；c < 4d < 160；b < 3c < 480；a < 2b < 960，因此a = 959。

因为替代过程中一直用乘法，所以非常靠近、但小于40的某个非整数d，通过乘法放大后最后仍然可能得到一个整数a。

正确的解法是一步一取整。即：

d < 40，d = 39；

c < 4d = 156，c = 155；

b < 3c = 465，b = 464；

a < 2b = 928，因此a = 927。

反过来，如果逐个替代的过程用的是除法，那么结果就没有差别了。比如：

正整数a，b，c和d满足2a < b，3b < c，4c < d，d < 960。a的最大值是？

直接替代：d < 960；4c < d，c < d/4 < 240；3b < c，b < c/3 < 80；2a < b，a < b/2 < 40，a = 39。

一步一取整：d < 960，d = 959；c < d/4 = 959/4，c = 239；b < c/3 = 239/3，b = 79；a < b/2 = 79/2，a = 39。

这是因为在除法的操作下，向下取整的值不变。

Maxi Q23:

下图中有12条线段，有多少种方式可以将它们一笔画出来？即，不重复也不跳过任何线段。

根据图论的基本知识，只有起始和终止顶点具有奇数的度，所以该图中只有两端的两个顶点可能是起始和终止顶点。

不妨只考虑从左画到右。这样，中间的5条通路提供了不同的可能。因为5次往返分别为向右、向左、向右、向左、再向右的步骤，各个步骤互不相同，所以一共有P(5, 5) = 5!种可能。

再考虑对称的从右画到左。所以一共有2∙5! = 240种方式。

Maxi Q29:

如果n是一个非零自然数，则阶乘n! = n × (n – 1) × … × 3 × 2 × 1。可以表示为至少2个不同的非零自然数阶乘之和的三位数有多少个？

因为7! > 999，1! + 2! + 3! + 4! < 100，所以组成该和的2个及多个的阶乘中，必须有1个或者2个来自于5!和6!，另外几个阶乘来自于1!、2!、3! 和 4!。

剩下的就简单了：

如果只有5!，因为1! + 2! + 3! + 4! + 5! < 220，所以另外的阶乘可以是1!、2!、3! 和 4!中的任意1个或多个，因此有2⁴ – 1 = 15 种可能。

如果只有6!，同理，有2⁴ – 1 = 15 种可能。

如果同时有5!和6!，同理，有2⁴ = 16 种可能。

这样，加起来一共有46种可能。

有人可能要问，为啥前面两种情况要减去1，后面一种情况不用减？那是因为题目要求表示为至少2个自然数的阶乘之和，当只有5!或6!时，1!、2!、3! 和 4!必须有1个出现，所以全不出现的那个情况要减去；而当同时有5!和6!时，1!、2!、3! 和 4!可以同时不出现，所以不需要减去这种情况。

Maxi Q30:

如下图所示，一个矩形被分成 4 个部分，图上线段比例不一定准确。每个部分上标出的数字是它的面积，求x是多少？

OMB考查的几何一般限于矩形、相似/全等三角形、勾股定理、圆的面积等等，题目中连圆和三角形的关系都不多见。

这题中，上下两个三角形相似。假设长方形底为a，高为b，上面的大三角形高为h₁，下面的小三角形高为h₂。那么有：

h₂ : h₁= √(S_下 : S_上 ) = √(4 : 9) = 2/3。

S_矩形 : S_上 = (ab) : (ah₁/2) = 2(h₁ + h₂)/h₁ = 2(1 + h₂/h₁) = 10/3。所以S_矩形 = 360。

x = 360 – 108 – 117 – 48 = 87。

多贝西和布尔甘的友谊

February 9, 2023February 9, 2023 Athlon_BE1 Comment

2月7日，比利时数学家英格丽·多贝西（Ingrid Daubechies）获得了2023年度沃尔夫数学奖。在昨天文章^【¹^】的留言中，有读者注意到多贝西和比利时的另一位数学家让·布尔甘（Jean Bourgain）有着极为相似的学术背景，两位数学家都于1975年毕业于比利时荷语布鲁塞尔自由大学（VUB），之后都移居美国，都取得了卓越的学术成就。

让·布尔甘，1954年出生于比利时的奥斯坦德，他的父母都是医生。1971年布尔甘进入荷语布鲁塞尔自由大学学习数学，并于1977年获得博士学位。1981年，他受聘为这所大学的教授。1985年，布尔甘移居到美国，在伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校担任教授。1991年，布尔甘加入加州理工学院。

布尔甘的研究领域主要为数学分析、解析数论、组合学、空间几何和偏微分方程。1994年，他因为巴那赫空间几何方面的突出贡献而获得菲尔兹奖。2016年他受封比利时男爵头衔，同年获得2017年度数学突破奖。

2018年12月，布尔甘因胰腺癌去世。

在2021年6月美国数学会出版的《美国数学学会通讯》（Notices of the American Mathematical Society）第68卷第6期^【²^】中，普林斯顿大学的彼得·萨奈克教授和加州大学洛杉矶分校的陶哲轩教授共同发表了一个纪念布尔甘的合集，他们收录了布尔甘生前好友及合作者写的回忆文章。其中，多贝西分享了她和布尔甘之间的一些回忆和友谊。

以下是我对多贝西回忆文章的翻译，限于英语水平，如有不准确之处，还望谅解。

我和让·布尔甘的相识可以追溯到很久以前：那是1971年，荷语布鲁塞尔自由大学（VUB，译者注：以下荷语布鲁塞尔自由大学简称VUB）新生开学的头几个星期，当时我们才17岁。按照许多欧洲大学的惯例，我们在入学时必须申报自己所在的专业，当时让的专业是数学（必须的！），而我的专业是物理学。

那时的VUB是一所相当小的大学，一年前它刚刚从说法语的布鲁塞尔自由大学（或ULB。在英语中，VUB和ULB都被翻译为布鲁塞尔自由大学）中独立出来。在此之前，VUB只是ULB中说荷兰语、用荷兰语教学的一个分支部门。ULB成立于19世纪初，其明确目标是完全独立于国家、教会或任何教条，正如其座右铭“Scientia vincere tenebras”即“通过科学征服黑暗”所示。后来，VUB选择了“Redelijk Eigenzinnig”即“合理的坚强意志”作为口号。比利时有很多优秀的大学教育资源，当让和我（以及我们的父母）进行选择时，VUB的这种哲学立场对我们的选择起到了很重要的作用。

这就是我与让的相识之始。

在VUB成立之初，物理专业和数学专业的学生有不少共同的课程。在他们的第一学年，物理专业的学生需要学习要求更加严苛的物理和化学课程（虽然物理和化学也是数学专业学生的必修课），但他们可以免修数学专业学生必修的射影几何。

从第二学年开始，两个专业的课程设置上有了更多的不同——特别是，物理专业的学生有一门很棒的光学方面的课程，在这门课中，我了解到一个（完美的）透镜可以用来进行傅里叶变换，我们在这门课的课堂实验中制作出了全息图，这对于1972年的大二学生来说，无疑是一次奇妙的体验。这次经历给我留下了深刻的印象，我之前一直在考虑转到数学专业，但这门课坚定了我主修物理学的决心，这是一个我从未后悔的决定（尽管后来我的方向还是有了变化，现在我假装自己是一位数学家）。

第二年结束后，让和我在课程表上渐行渐远。尽管如此，从微积分和线性代数到拓扑学和复分析，在前两个学年中我们还是一起上了大约十门数学课。作为一所小型大学，VUB引以为豪的是为学生提供了丰富的培养经验，其中包括很多辅导课和问题研讨会。作为数学方向最强的两个学生，让和我很快就发现了彼此的存在。让了解的数学知识比我还多，有一次一位工程系的学生向我们提出挑战，要我们求出追逐问题中的轨迹曲线（译者注：我们也曾讨论过同样的问题^【²^】），当时让已经掌握了一些我从未听说过的求解微分方程的技巧。他是我遇到的第一个至少和我一样擅长数学的男孩，所以我很快就对他有了怦然心动的感觉。

对于每门数学课，学校每周都设置了两个小时的问题研讨会，学生们通常会在研讨会开始时拿到一张问题列表，然后在来回走动的助教的帮助下尝试解决这些问题。让和我会在这些问题上互相比赛，在相当多的情况下我取得了胜利，因此勉强地赢得了他的尊重，我确信他并不是故意让我赢的！那一年，我们经常在一起玩，在大多数不上课的时间里都在谈论数学，经常去空的教室里用黑板。偶尔，我也会建议我们谈论些别的事情，或者玩玩游戏，但让对此会表示不解。

经过一个漫长暑假的离别（让的家乡在这个国家的另一端，距离我的家乡70英里），我对他的爱慕之情已经悄然褪去。在物理专业的同学中，我找到了一个男朋友，他很会讲故事，是一个手很巧的实验伙伴，也是一个有天赋的钢琴手和作曲家，但他的数学却不怎么样。我选择和一个不以数学为中心的人在一起，让对我这个奇怪的愿景表示惊讶。

有一件事让我记忆犹新：在秋季学期结束前的一场数学笔试中，让和我都提前交了卷，我们在考场外的走廊上聊天，讨论着各个问题的解答。这时，我的男朋友也从考场走了出来，他擦了擦额头，感谢我考前给他的辅导，他认为这对他这场考试非常有帮助。当让离开时，我听到他喃喃自语，他真心地怀疑那个人能否理解我们刚刚讨论过的数学问题中的那些精妙之处。

在大学的最后两年里，我们的交集越来越少。VUB 75届数学和物理专业学生成绩和学位的官方宣布仪式，即所谓的最终“宣告仪式”结束之后，我们所有人（人数不多，总共不到30人）决定去布鲁塞尔大广场找一家咖啡馆喝几杯啤酒。

当时，我们中的大多数人都已经安排好了未来的工作：让和我都在VUB获得了博士生奖学金（在比利时，研究生通常留在他们获得本科学位的机构），另外一些人也大多如此（包括我当时的男朋友，他最近作为一名实验半导体物理学家从学术生涯中退休），其他人则以高中教师、各种公司职员或者公务员的角色继续其职业生涯。尽管在后来的几年中，我们这些人中的一些人会在婚礼或者其他场合中再次相聚，但那次喝酒是我们团队作为整体聚会的最后一次。

我们回忆着，品味着过去四年中的种种美好，笑声不断。渐渐地，在酒精的刺激下，我们开始玩一些不着四六的派对游戏。在某个时候，有人提出了一个古老的思维游戏：三个朋友去酒吧，各点了些不同的饮品，最后他们决定把账单平分。账单上总共是25法郎，他们三人各自放下10法郎的硬币，服务员结算后返回了5枚1法郎的硬币，朋友们每人拿回了1法郎，将剩下的2法郎作为小费留在桌子上。请稍等——这里明明不对劲——因为他们每人拿回了1法郎，所以实际上他们每人花费了9法郎，加上2法郎的小费，总共应该是27 + 2 = 29法郎，但我们一开始看到的是30法郎……那缺失了的1法郎到哪里去了？当时让也喝了不少啤酒，这个愚蠢的问题把他难住了好几分钟，引发了其他人（友好的）哄堂大笑。即使几十年后，当我们中的一些人再次相遇，对那件事的回忆仍会让我们再次放声大笑。

在随后的这些年中，让和我经常会在一些场合碰到，即使我们不再是亲密的朋友，但我们始终保持着那种相识已久的人之间才有的轻松的关系。不管我们在世界的哪个角落相遇，也不管我们距离上一次相遇过了多长时间，我们总是会用荷兰语聊天，就像我们在大学时那样。

在苏黎世的国际数学会议（ICM）上，我很高兴能与让再次相会，在那次大会上他荣获菲尔兹奖，我深感欣慰能够成为他走下领奖台时第一个向他表示祝贺的人。那时，让在IHES（译者注：法国高等科学研究所）工作，而我在美国，正从贝尔实验室过渡到普林斯顿大学。不久后，我们在新泽西的同一个小镇上住过一段时间，这个小镇与我们第一次相见的地方相隔半个地球，这个世界真小！

多年以后，也是让获得了很多奖项以后，我很高兴能够再一次祝贺他，这一次是在他获得2017年数学突破奖的仪式上，这一次我以国际数学联合会（译者注：IMU）的名义对他表示祝贺。当时，让已经在与癌症作抗争，我们都希望他能战胜疾病，但很遗憾，并未如愿。

一位同班同学传来了一张令人难以忘怀的照片，如图1所示。在那个智能手机还未出现的年代，我们日常生活中拍摄的照片非常少，这张照片成为了那段时光中的让给我们留下的唯一纪念。

图1：1971年春天的让·布尔甘，截取自其高中班级照片。

不幸的是，虽然他不是我们这个团体中第一个离开的人，但他无疑是我们中最杰出、也可能是最特立独行的成员，我们对他的离去感到悲伤，他太年轻了。

我们所有人，尤其是我，将继续深情地将他铭记于心中。

多贝西对布尔甘的回忆，既是数学家之间的惺惺相惜，更是一种同学之间友情甚至恋情的情感表达。抛去他们的学术成就不说，光是这份感情就弥足珍贵。

我的女儿也正在读大学一年级，她和她的同学们也正是十八九岁懵懵懂懂的年龄，他们经常有些不着四六的中二行为，有些我们作为父母看不懂的乐趣；但大学阶段无疑是他们人生中最美好的时光之一。这些孩子刚刚开始独立的生活，拥有着自由和无拘无束的青春，可以结交新朋友，品尝友情和爱情的甜蜜和苦涩，学会独自面对困难和承担责任。所有的这些青葱经历都将成为他们美好的记忆，和那些伴随成长的朋友们一起，成为他们一生中最珍贵的财富。

参考出处：

小波分析VUB，沃奖得主多贝西

February 8, 2023February 8, 2023 Athlon_BE2 Comments

2月7日，沃尔夫基金会公布了2023年度沃尔夫奖所有奖项的得主，其中分量最重的沃尔夫数学奖由在美国杜克大学工作的比利时数学家、物理学家英格丽·多贝西（Ingrid Daubechies）获得，她的获奖基于“她在小波理论和应用谐波分析方面的工作”。

“小波”（wavelet）一词最早出现于1980年代，指的是通过缩放和平移，用有限长或快速衰减的振荡波形来表示和匹配输入的信号。近四十年来，小波理论和小波分析成为了数学理论中一个迅速发展的领域，它同时具有十分广泛的应用基础。

多贝西在小波理论领域做出了重大贡献，她的研究彻底改变了图像和信号的数字处理方式，为数据压缩提供了标准和灵活的算法。多贝西的研究成果带来了多个领域技术的创新，包括医学成像、无线通信，和数字电影，比如：她早期的研究成果被用于图像压缩，我们常见的JPEG格式图片就是通过Daubechies小波压缩而成，它们也被用于将声音序列压缩成 MP3 文件；在更近的一些应用领域中，它们被用于增强和重建哈勃望远镜早期的图像，检测伪造的文件和指纹等等。

简单来说，小波是一些短暂出现、峰形比较突出的波，和正弦波不同，它们不会一直持续下去，而是很快就衰减为零。

我们举一个浅显但不那么恰当的例子：如果你和一个正在火车上的朋友通话，手机中传来的声音是他的语音和火车上其它噪音的混合信号，朋友的语音有特定的起伏和停顿，而火车上其它噪音的幅度相对恒定，出现的频率也相对固定，具有较强的周期性。在这个例子中，朋友的语音是一个个短暂、尖锐的小波，而噪音则类似于正弦波这样的恒定的周期性信号。而小波分析的目的就是从这个混合信号中将朋友语音的信号提取出来，达到降噪的目的。

再来看一个实际的例子^【1】。心电图（ECG）中的R峰和心率以及心率变异性有关，是心脏功能的重要指标之一。虽然R峰一般是心电图上QRS复合波中信号最强的峰，但心室的收缩和心房的扩张给QRS复合波带来了不少噪音，这些噪音掩盖了R峰附近的细节。通过最大重叠离散小波变换（MODWT），R峰从心电图信号中被提取出来，并得到重建。下图中，上半部分是原始的心电图信号，我们可以看到信号总体上随着心脏的收缩和扩张发生变化，R峰的幅度随之起伏；下半部分是经过小波变换后重建的信号，我们可以看到QRS复合波被有效去除，留下的只有R峰的信号，R峰幅度稳定，附近的细节被保留和增强。

多贝西出生于1954年，她的家乡是比利时林堡省一个叫Houthalen-Helchteren的小镇，她的父亲是一位土木工程师，母亲则是一名犯罪学家。

现在Houthalen-Helchteren的新市政厅（NAC）的中央位置，有一个蓝色外墙的圆塔，塔的顶层有一个观景台，远远望去像是蓝塔上开了一只眼睛。为了表彰多贝西在数学和物理领域做出的贡献，Houthalen-Helchteren市政府将这个观景台命名为“多贝西之眼”（het Oog van Daubechies），象征着对世界和未来持开放和无限的看法。

多贝西从小就表现出来对数学和科学浓厚的兴趣，在父亲的影响下，她着迷于机械和工具的工作原理，以及数学概念背后的规律。在睡不着觉的时候，小时候的多贝西采取的不是“数羊”的办法，而是拿一个数字在脑子里反复进行加倍的心算，她非常享受脑子里的数字不断增长的过程。在6岁左右，多贝西就已经熟悉了圆锥体、四面体等立体概念，她进入小学后成绩优异，在入学仅仅三个月之后就跳了一级。

在哈瑟尔特中学毕业后，1971年多贝西进入布鲁塞尔自由大学（VUB）学习物理。在比利时的几所大学中，鲁汶大学和根特大学的历史最为悠久，学校的教学科研实力和学术声望也最高。上世纪六十年代末，随着“佛拉芒运动”的兴起，鲁汶大学被拆分为荷语鲁汶大学和法语鲁汶大学。在同样的历史背景中，1834年成立的布鲁塞尔自由大学也于1970年被拆分为荷语布鲁塞尔自由大学（VUB）和法语布鲁塞尔自由大学（ULB）。

多贝西进入的是荷语布鲁塞尔自由大学，她主修物理学，在1975年完成本科阶段学习后她继续在这所大学攻读博士学位。在博士期间，多贝西多次前往法国马赛的CNRS理论物理中心学习和从事量子力学方面的研究，最终多贝西于1980年在布鲁塞尔自由大学获得理论物理学博士学位。

博士毕业后，多贝西在布鲁塞尔自由大学工作了几年，先后担任助理研究员和助理教授。1987年她移居美国，在AT&T的贝尔实验室的一个研究小组工作，在那里她做出了构成JPEG 2000标准基础的研究工作。

1994年，多贝西加入普林斯顿大学，从事应用和计算数学方面的研究，并成为了普林斯顿大学数学系第一位全职女教授。在普林斯顿工作了16年后，多贝西于2011年加入杜克大学数学、电气与计算机工程系，并工作至今。

在杜克大学工作期间，多贝西于2011年至2014年间担任了国际数学联合会（the International Mathematical Union）主席，这也是IMU历史上第一位女性主席。2012年，当时的比利时国王阿尔贝二世授予多贝西女男爵称号。2000 年，Daubechies 成为第一位获得美国国家科学院数学奖的女性，该奖项每 4 年颁发一次，以表彰已发表的数学研究的卓越成就。

现在，多贝西是美国国家工程院院士、美国国家科学院和美国艺术与科学院院士。

除了在数学和科学上取得的成就，多贝西还积极鼓励女性在数学和其他相关领域从事研究和职业。她是杜克大学夏季数学研讨会的联合创始人，该研讨会面向即将升入高中的女生。

在比利时，多贝西于2011年倡导举办了Wiskunnende Wiske比赛^【²^】，其初衷是通过团队竞赛的形式，激发中学生尤其是女生对数学和科学研究的兴趣，以满足比利时在科学和工程方面对人才的需求。

Wiskunnende Wiske比赛的主办方，自然是多贝西的母校布鲁塞尔自由大学。每一届比赛结束后，主办方都会邀请多贝西通过视频公布比赛结果，并分享自己的心得。可以说，多贝西这样一个榜样不仅给这个比赛带来了更多的乐趣，而且给众多喜欢数学的女生带来了更多的激励。

现在，多贝西成为了第一位获得沃尔夫数学奖的女性，在她的多个“第一位女性”名单中又添上了一个分量很重的奖项。相信在她的家乡比利时，这个消息一定会激励更多的小粉丝们发现数学的乐趣、积极参与到数学课外活动和数学竞赛中来。

参考出处：

Addison, P.S. (2005). Wavelet transforms and the ECG: A review. Physiological Measurement, 26 (5), p. R155
https://sqr5.wordpress.com/2020/10/28/%E6%93%85%E9%95%BF%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E7%BB%B4%E7%BB%B4/

奥数题最后成了语文题

February 5, 2023 Athlon_BELeave a comment

1月18日是比利时中学生数学奥林匹克竞赛初赛的日子。

在这一天下午，比利时荷语区和法语区分别举行多个级别的初赛，其中荷语区的JWO面对中学三、四年级的学生，VWO面对中学五、六年级的学生；法语区的OMB分为Mini、Midi和Max三个级别，分别面对中学一、二年级，三、四年级和五、六年级的学生。关于这些竞赛的具体介绍，可以参考我之前的介绍文章^【^{1 – 3}^】。

比赛当天的晚上，Discord上的某个群就热闹了起来。一般来说，孩子们赛后对对答案、分享一下感受是完全正常的。不过，这一次有不少关于VWO初赛第30题的讨论，有一些孩子认为这道题语义不清晰，存在多个答案，组委会应该在阅卷中取消这道题。

其中有个叫Nichola的学生还专门写了一封email给比赛的组织者，组织者的回信倒也中规中矩，表示会将这个反馈转交给评委们讨论。

那么，引起轩然大波的这道竞赛题到底出了什么问题呢？下面是这道题的原文：

翻译成中文，即：

Octavia水族馆中生活着长有8个爪子的八爪鱼和长有7个爪子的七爪鱼。有人发现，虽然知道了这家水族馆中动物的爪子的总数，但仍无法确定水族馆中动物的总数。那么，这家水族馆至少有多少个动物？

(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11 (E) 12

应该说，这道题的表述还是比较清楚的。水族馆中有若干八爪鱼和七爪鱼，现在知道爪子的总数，不知道头的总数。类似于“鸡兔同笼”，这是一个线性不定方程组的问题。

直觉上，因为8和7是互质的，所以对于任何爪子总数少于56的情况都可以找到确定答案：解要么唯一存在，要么不存在。

用数学的语言来表述，假设已知爪子总数为s，按照题意，头的总数不确定，即存在两组(o₁, h₁)和(o₂, h₂)，使得以下方程组成立：

且o₁ + h₁ ≠ o₂ + h₂，即表示动物总数不确定。

其中，o₁和o₂表示八爪鱼的个数，h₁和h₂表示七爪鱼的个数。

将两个式子相减，得到8(o₁ – o₂) + 7(h₁ – h₂) = 0。

易知，o₁ ≠ o₂且h₂ ≠ h₁。不妨设o₁ > o₂，得到8(o₁ – o₂) = 7(h₂ – h₁)。

因为8和7互质，所以8|(h₂ – h₁)，且7|(o₁ – o₂)。

已知o₁ – o₂ ≠ 0且h₁ – h₂ ≠ 0，o₁ + h₁ 或 o₂ + h₂取得最小值时，有

o₁ – o₂ = 7，且h₂ – h₁ = 8。

现在关键的问题来了：题目的表述是否意味着该水族馆至少有1只八爪鱼，且至少有1只七爪鱼。换句话说，每种动物的个数是否至少有1只？

如果该水族馆可以只有八爪鱼或者只有七爪鱼，即只有一个品种，那么o₁, o₂, h₁, h₂ ≥ 0，从上式中可以得到两组解为(7, 0)和(0, 8)，对应于爪子一共56只的情况，它们或许来自于7只八爪鱼，或许来自于8只七爪鱼。这种情况下答案应该为7，但7并不是题目选项。

如果该水族馆至少有1只八爪鱼，且至少有1只七爪鱼，那么o₁, o₂, h₁, h₂ > 0，从上式中可以得到两组解为(8, 1)和(1, 9)，对应于爪子一共71只的情况，它们或许来自于8只八爪鱼和1只七爪鱼，或许来自于1只八爪鱼和9只七爪鱼。这样，答案应该是(B) 9，这也是官方给出的答案。

因此，Discord上持不同意见的孩子们实际上是对题目的理解产生了偏差，除了动物的个数是否可以为0这个不同意见，还有人表示octopussen和heptapussen在荷兰语中都是复数，那么是否应该理解成这两种动物都至少有2只？如果这样的话，o₁, o₂, h₁, h₂ > 1，得到的两组解为(9, 2)和(2, 10)，这样动物总数的最小值为11，答案应该选(D)。

由此看来，该题目的数学水平本来不难，难在了语文水平。

数学本身是很严谨，但在很多时候，如果对数学术语的定义不够准确，那么就容易引起误解。

比如“正数”这个概念，在国内指的是任何大于0的实数，而在比利时或者其他西方国家的中小学，“正数”（positive）意味着大于等于0，即我们概念中的“非负数”。国内概念中的“正数”，在这边被称为“严格正数”（strict positive）。

又比如“自然数”这个概念，在我接受的教育中，“自然数”指的是“正整数”，即1, 2, 3, … 自然数中不包括0；而在2000年之后国内出现的新版中小学教材中，0被列入了自然数。因此每当我看到现行教材中自然数的解可以为0时，就好比念了一句“一qí红尘妃子笑”无可奈何，反正我已经“乡音无改鬓毛shuāi”，是无法被新教学大纲给shuō服了。

所以，一道好的数学题，必须是一道表述严谨的数学题。为了避免类似的误读，数学题中一定要加上额外的条件说明，比如：“对于任意正整数n > 0”，“存在严格正数x”等等。

参考出处：