拾贝集 – Sqr5's blog

ChatGPT的中学数学水平到底咋样？

January 26, 2023January 26, 2023 Athlon_BELeave a comment

最近，OpenAI开发的聊天机器人ChatGPT很火。

今天晚饭后无聊，我随便问了它四个问题，按照数学竞赛的惯例，四个问题分别来自于数论、组合、代数和几何。

聊天截屏如下：

第一题，关于费马大定理。看得出来，ChatGPT是了解这个定理的，但回答过程中它忽略了非零的条件，落入了我的陷阱中。不过，后续的回答中它马上找到了问题的关键，非常赞。

第二题，平面上的点的涂色问题。这道题对于AI来说有些超纲了，它和我胡搅蛮缠了半天“相邻的点”，最后应该是根本没有理解问题。

第三题，简单的AM-GM，同样问的是成立条件。看得出来，AI了解了很多数学定理，但弱点是不知道这些定理成立的条件。此外，ChatGPT对数学的书写方式可能也不熟悉，比如一开始没有把xy看作是x乘以y。

第四题，关于等腰三角形的性质。这道题ChatGPT应该是可以得分的，但它给出的解释有些无厘头，把等腰三角形和直角三角形纠缠到一起了。最后在我追问直角等腰三角形的概念时，碰巧它“忙不过来”，真是笑死人了。

总的来说，如果要用ChatGPT来做数学题，其后台程序还需要多多进行训练，其中包括对数学语言的准确解析和理解，对数学问题中逻辑推理过程进行抽象和建模等。当然，上面的游戏中我用的是中文，这对于ChatGPT来说无疑又增加了难度。

据说脸书的Meta AI训练出来了一个叫做HyperTree Proof Search（HTPS）的证明器，已经可以成功解答多个国际数学奥林匹克竞赛IMO中出现过的问题。具体是不是有这么神，我不知道；我倒是很好奇什么时候可以让AI同时参加一届IMO，看看它们是不是有实力在这个领域挑战甚至战胜这个星球上最聪明的脑瓜们。

丹麦语的数字表达，你能破解它吗？

December 22, 2022 Athlon_BELeave a comment

亚历克斯∙贝洛斯（Alexander Bellos）是一位英国作家，同时也是一位数学科普者。贝洛斯从牛津大学数学系毕业后，进入新闻行业工作，不久后即加入卫报，成为卫报驻南美的记者。在此期间，贝洛斯写作了《足球：巴西人的生活方式》和《贝利：自传》等畅销书。

结束驻外生活回到英国后，贝洛斯开始撰写数学科普方面的文章，并在每日电讯报上开设了专栏。2010年，贝洛斯的新书《亚历克斯在数字王国的冒险》出版，在英国畅销书排行榜上停留了四个月的时间，该书的意大利语版本曾获得伽利略科学书籍奖和皮亚诺数学书籍奖。同时，贝洛斯还是BBC的特邀主持人，常常在节目中谈论数学问题，他在Radio 4上的纪录片《数字涅槃》入围了2014年英国科学作家协会奖最佳广播节目。

下面这道语言趣题来自于贝洛斯2020年出版的书籍《语言爱好者的谜题》（The Language Lover’s Puzzle Book: Lexical perplexities and cracking conundrums from across the globe）。在这本书中，贝洛斯收集和介绍了100多个填字游戏、语言游戏和谜题，展示了这个世界上文字和语言的多样性以及它们和数学的有趣的联接。

这道语言趣题和丹麦语中的数字表达有关。大家都知道法语表达数字的方法比较“拧巴”，其实不仅仅是法语，在欧洲，有不少语言的数字表达方式都比较复杂，比如在德语和荷兰语中就存在十位数和个位数的倒置表达方式等。在欧洲这些语言中，丹麦语对数字的表达应该算是比较独特的。

题目中给出了一些数字在丹麦语中的写法：

fire = 4

nioghalvfjerds = 79

toogtyve = 22

seksogtres = 66

ni = 9

syvoghalvtreds = 57

enogfirs = 81

tre = 3

fem = 5

问，以下丹麦语表示的数字分别是多少？

seks，nioghalvtreds，treogtyve，femoghalvfems，toogtres，halvfjerds

以及，如何用丹麦语表示以下数字？

7，54，21，85和99

我们从题目示例中的个位数入手，因为个位数最简单，一般不涉及语法结构。示例一共有9条，其中4条是个位数，它们分别是：fire = 4，ni = 9，tre = 3和fem = 5。

未知的个位数字有1，2，6，7和8。

示例中还剩下5个两位数，它们分别是：nioghalvfjerds = 79，toogtyve = 22，seksogtres = 66，syvoghalvtreds = 57和enogfirs = 81。

仔细观察一下，这5个词语中都有A-og-B这样的结构，很明显og这个结构和两位数有关。

再观察一下5个两位数中的79，它的分结构为ni-og-halvfjerds；而我们正好已知9的个位数表示为ni，因此可以推断在丹麦语中，两位数中个位数字和十位数字以og连接，且同样存在倒置的表达方式，即个位数字在前，十位数字在后。

根据这个推断，我们从余下的4个两位数中得到其它4个个位数的表达：

to-og-tyve = 22 → to = 2；

seks-og-tres = 66 → seks = 6；

syv-og-halvtreds = 57 → syv = 7；

en-og-firs = 81 → en = 1。

现在9个个位数里只差8了。

再来看看两位数中的十位数字的表示。

和个位数的表示相对比，可以找到两个相对简单的例子：

seks-og-tres = 66，其中tre = 3，tres在这里则表示60；

en-og-firs = 81，其中fire = 4，firs在这里则表示80。

这使得我们可以猜测：是不是(og)-tres表示20 × 3，而(og)-firs表示20 × 4？

如果是这样，那么20为什么不是(og)-ens？这里先放下。

另外还有两个十位数字为奇数的例子：ni-og-halvfjerds = 79和syv-og-halvtreds = 57。这两个数字中都带有halv-的结构，是不是和奇数有关？比如halv-treds是不是表示20 × 3 – 10？如果是这样的话，那么为什么70不是halv-fireds而是halvfjerds。这里也先放下。

来看看需要完成的丹麦语到数字的翻译。

seks = 6，这个我们已经推断出来了；

nioghalvtreds，十位数字halvtreds = 50例子里有，所以这个数字是59；

treogtyve，同样十位数字tyve = 20例子里有，所以这个数字是23；

femoghalvfems，这个十位数字例子里没有，但根据上面的推断，我们可以猜测halv-fems = 20 × 5 – 10 = 90，所以这个数字是95；

toogtres，这个简单，是62；

halvfjerds，这个翻译问题的出现验证了-og-本身只是一个连接词，它不表示十位数；而-og-后面接的部分才表示“几十”，所以这个数字是70。

再来看看从数字到丹麦语的翻译。

7 = syv，这个很简单；

54 = fireoghalvtreds，照搬例子中的50即可；

21 = enogtyve，同样是照搬；

85 = femogfirs，还是照搬；

99 = nioghalvfems，这里用到了前面丹麦语到数字翻译题目中的halvfems。

好了，题目做完了，再来看看丹麦语中的数字表达体系。

丹麦语对大于50的十位数字的表达，是基于20进制的，并使用halv表示20的一半，即10。具体来说，

halftreds从字面上来说就是“第3个（20）再减去一半”，即20 × 3 – 10 = 50。

tres就是“第3个（20）”，即20 × 3 = 60。

halvfjerds就是“第4个（20）再减去一半”，即20 × 4 – 10 = 70。

firs就是“第4个（20）”，即20 × 4 = 80。

halvfems就是“第5个（20）再减去一半”，即20 × 5 – 10 = 90。

这样的表达方式非常复杂，尤其对于不懂丹麦语的游客来说，他们很难理解为什么“50”里找不到和“5”有关的单词，而只能找到表示“一半”和“3”的单词。

上世纪50年代，为了简化丹麦语的表达方式，丹麦政府曾经推行过数字的简化表达方式，用类似于英语的单词femti，seksti，syvti，otti和niti分别表示50，60，70，80和90，并将简化后的“50”femti印在了1957年发行的50克朗纸钞上。在此后1972年和1997年两次的新钞发行中，femti都被用来表示“50”。

不过，很可惜，这种语言的简化没有被民众们所接受，他们虽然不反对使用印有femti的50克朗，但从不愿意在语言中使用femti这个词。最终，这个语言简化方案宣告失败，丹麦国家银行逐步回收印有femti的钞票，并在2009年重新发行了印有halvtreds的50克朗新钞。

夏洛克的语奥题

November 19, 2022November 19, 2022 Athlon_BELeave a comment

柯南·道尔所著的神探福尔摩斯系列小说《福尔摩斯归来记》中有一个短篇故事，叫做《小舞人探案》（The Adventure of the Dancing Men）。在这个故事中，夏洛克·福尔摩斯运用语言学的知识破解了凶杀案中最关键的线索——一个个画着火柴人不同舞姿的图案，最后成功地找出了凶手。可以说，这个关键线索是不同形态火柴人的故事，使得福尔摩斯系列小说中第一次出现了类似于语言奥林匹克竞赛的情景。

1984年根据柯南·道尔小说改编的电视剧《跳舞的人》（The Dancing Men）剧照。

美国伊利诺斯州班尼迪克大学（Benedictine University）的数学系教授Manmohan Kaur将这个探案故事改编成了一个课堂活动，并发表在2021年7月份的《人文数学杂志》（Journal of Humanistic Mathematics）上。Kaur教授想通过这个课堂活动让学生们明白，数学思维很有趣，也很有用，福尔摩斯用了几天破解了密码，而学生们用50分钟同样可以破解密码。神探能做到的，他们也能做到。

在对故事内容进行精简和优化之后，这个语奥课堂活动的表述如下：

课堂活动文本和材料

英国Elriges小镇的Hilton Cubitt先生拜访了你，给了你一张纸条。这张纸条是在他家花园里的日晷上发现的，纸条上画了一排神秘的火柴人。

消息1：

Cubitt解释说，他最近和一名叫做Elsie Patrick、来自芝加哥的美国女人结了婚。在婚礼前，这个女人曾经要求他不要过问她的过去，因为尽管她个人并没有做过什么可耻的事情，但是她在生活中确实有过一些“非常不愉快的经历”。婚后的他们一直很幸福，直到这些小纸条开始出现在他们的生活中，一开始有人将它们从芝加哥匿名寄过来，现在它们又出现在家中的花园里。

这些纸条让Elsie感到非常害怕，但她没有解释自己害怕的原因；Cubitt则坚守着他的诺言，没有追问Elsie过去在芝加哥的生活。如果仔细观察这些火柴人，并试图去理解它们的含义，你会注意到有些小人举着旗子，这些旗子可能意味着什么？也许标识着单词的结束？

第二天早上，Cubitt先生在花园工具房的黑色木门上又发现了一组新的、用粉笔画上去的火柴人。

消息2：

两天后的早晨，又出现了第3条消息。

消息3：

三天后，有人把一组火柴人画在纸上，再把这张纸用一块鹅卵石压在日晷上。

消息4：

Cubitt把这些纸条和消息原样描了下来，交给了你，你的任务是帮助他搞清楚到底发生了什么。你给你在芝加哥警察局的朋友打了电话，请她调查和搜集关于Elsie Patrick的背景资料。

很快，你了解到Elsie是芝加哥一个黑帮老大的女儿，并曾经与她父亲手下一个叫Abe Slaney的人订婚，但她最终得以逃离之前的这段生活，来到英国。

你仔细检查了不同形状火柴人出现的情况。你发现消息4的笔迹不大一样，所以你猜测它可能来自于另一个人，也许就是Elsie本人；而其它三条消息来自于未知的那个人（很可能就是罪犯）。在接下来的两天中，你试图对这些火柴人进行一些推理，找出它们代表的含义。你现在可以肯定，一些图案上的旗子表示单词的结束；你还知道，每一个特定的英文字母被替换成了一个特定形状的火柴人，消息通过这种方式被加密；而字频分析就是找出这个替换规则的最好办法。

因此，你可以逐步回答以下问题。

1. 英语中最常见的字母是什么？这个字母应该是“E”。

2. 这个最常见的字母在最后一条消息（消息4）中出现了2次，这条消息可能是什么意思？

3. 这个最常见的字母在消息3中出现了3次，第一个词中出现了1次，第二个词中出现了2次。第一个词是_ _ _ E，第二个词是E _ _ _ E。这条消息是罪犯发给Elsie的，它可能是什么意思？

4. 消息2也来自于罪犯，它由两个单词组成，第一个单词只有两个字母。消息2可能是什么意思？

5. 利用你现在已经知道的信息，消息1可能是什么意思？

三天后，又有一条消息出现。

消息5：

6. 看到这条消息，你感到危险正在逼近Cubitt夫妇。你马上赶到Elriges，但还是来迟了一步，你发现Cubitt先生心脏中枪而死，而他的妻子则头部中枪受了重伤。消息5可能是什么意思？

7. 诺福克郡警察局的Martin探长认为这是一起谋杀和自杀组成的案件，因为现场找到的手枪属于Cubbit先生，所以Elsie很可能是杀害Cubbit先生的主要嫌疑人，她杀死丈夫后选择了自杀。虽然你同意Elsie是自杀的判断，但在发现了探长判断中的一些矛盾之处之后，你认为此案中还存在第三个人。你将如何向Martin探长证明有第三个人的参与？

8. 如何抓到真正的罪犯？

关键提示和问题答案：

1. 最常见的火柴人是。所以它应该代表着字母“E”。

2. 与其它的可能“LEVER”、“SEVER”、“FEVER”相比，消息4应该是“NEVER”。

3. 消息3应该是“COME ELSIE”。第一个词的可能有：“LOVE”、“DOVE”、“SAME”、“COME”、“LIKE”等等；第二个词的可能有“ELOPE”、“ELATE”、“ELSIE”等等。

4. 根据已知的信息，消息2是“_ _ ELRI _ ES”。两个字母组成的单词可能是“IS”、“AN”、“AT”、“AM”、“ON”、“OF”、“GO”、“IN”等等；第二个词比较简单，应该是“ELRIGES”。所以消息2的答案是“AT ELRIGES”。

5. 根据已知的信息，消息1是“A _ _ ERE A _ E SLANE _”。联系到Elsie前未婚夫的名字，这条消息应该是“AM HERE ABE SLANEY”。

6. 现在来看消息5：“ELSIE _RE _ ARE TO MEET TH _ GO _”。这句话应该是“ELSIE PREPARE TO MEET THY GOD”。

7. 根据上面解密的消息，罪犯应该是Abe Slaney。

8. 第8个问题并没有一个标准答案。一个可能的答案是，你可以模仿Elsie的笔迹用加密后的火柴人形状写下“COME HERE AT ONCE”，并放在日晷上。Abe Slaney不知道Elsie自杀，所以会匆匆赶来，从而被警察抓住。

一个可能的案件还原是：Abe Slaney从芝加哥来到英国，目的是找回Elsie。Elsie表示不愿意再和他见面，但Abe Slaney仍然跑到Elsie家纠缠。正在两人争吵之际，Cubitt带着枪出现了。激烈搏斗后，Abe Slaney夺过枪打死了Cubbit，然后逃走；Elsie见丈夫因为自己丧命，负疚开枪自杀。

以上即Kaur教授课堂活动的文本材料和提示。

柯南·道尔原著中的推理过程相当精彩，完全可以作为一个语奥爱好者的练习材料，只不过文字内容较多，无法在一节课中完成，所以Kaur教授的改编也非常精彩，改编中给出了提示可以帮助学生更快地找到思路，从而在50分钟内完成所有消息的破解工作。

对于感兴趣读者朋友，我推荐大家可以去看看原著，或者看看下面这个单行本。

danc Download

心算好？来，进来试试！

October 12, 2022 Athlon_BELeave a comment

这是一所简陋的乡村学校。教室是一间有着木板墙和贴有瓷砖炉子的房间，黑板架在一个木架子上，黑板前面是一群表情各异的孩子，他们在兴致勃勃地思考写在黑板上的一道心算题，有的孩子还没有找到思路，有的孩子已经悄悄地把答案报给老师。老师穿着黑色西装、白色衬衣，还打着领结，他整齐干练的穿着和前景中一个孩子破烂的衣衫以及粗陋的柳条鞋形成了鲜明的对比。

这幅画是俄罗斯画家尼古拉∙佩德罗维奇∙伯格丹诺夫-贝尔斯基（Nikolay Petrovich Bogdanov-Belsky）1895年创作的作品，名字叫做《心算，在S. A. 拉钦斯基的乡村学校》。

画名中的S. A. 拉钦斯基（Sergey Aleksandrovich Rachinsky），即画中的那位老师，是俄罗斯著名的教育家、植物学家和数学家，他是莫斯科大学的教授，是圣彼得堡帝国科学院的通讯院士，也是第一个将达尔文的《物种起源》翻译成俄文的学者。拉钦斯基出身于贵族家庭，受过很好的教育，他的朋友圈中不乏著名的作家、艺术家和科学家，其中包括托尔斯泰，柴科夫斯基和著名的文人阿克萨柯夫兄弟等等。

受托尔斯泰的影响，拉钦斯基十分关注贫苦农民的生活。1872年，他回到家乡斯摩棱斯克省的塔夫沃村，全身心地投入到公共教育事业中。伯格丹诺夫-贝尔斯基的这幅画，描绘的正是这位大学教授和科学院院士在乡村学校中给农村的孩子上了一堂算术课，在课上给孩子们出了一道心算题的场景。而画家本人就曾经是拉钦斯基的学生，所以画面上呈现的内容是具有相当真实性和可信度的。

现在我们来看看黑板上的这道题。

(10² + 11² + 12² + 13² + 14²) / 365 = ?

这道题若是笔算，相信对于绝大多数的小学生都不是问题。不过，如果不能拿纸笔，只能通过心算来解决，却不是那么容易。

第一种可能，是背过平方数表的朋友，他们可以轻易背出20以内任何一个整数的平方数，这样只需要默默计算100 + 121 + 144 + 169 + 196，得到730，再除以365，就可以得出答案2来。通过这种方法得出答案的朋友，靠的是“硬实力”，解法却不够漂亮。

第二种可能——其实基本上不可能——是通过平方和公式来计算。平方和公式即

1² + 2² + 3² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6

通过平方和公式，

10² + 11² + 12² + 13² + 14²
= (1² + 2² + 3² + … + 14²) – (1² + 2² + 3² + … + 9²)
= 14(14 + 1)(28 + 1)/6 – 9(9 + 1)(18 + 1)/6
= 730

虽然平方和公式很强大，但最后一步对于心算来说难度非常大。个人觉得这种可能性很小。

第三种可能，利用和差的平方公式，对心算的要求就要简单多了。

10² + 11² + 12² + 13² + 14²
= (12 – 2)² + (12 – 1)² + 12² + (12 + 1)² + (12 + 2)²= 5∙12² + 4 + 1 + 1 + 4
= 5∙12² + 10
= 730

这个解法的巧妙在于利用5个整数关于12对称，所以解开平方括号后的中间项加减抵消了，剩下五个12的平方、两个2的平方和两个1的平方。很快就能得到结果。

第四种可能，和第三种有些类似，利用平方数等于奇数和的性质：

n² = 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)

所以，12² – 11² = 23，12² – 10² = 23 + 21。

而，13² – 12² = 25，14² – 12² = 25 + 27。

因此，

10² + 11² + 12² + 13² + 14²
= 5∙12² – 23 – 21 – 23 + 25 + 25 + 27
= 5∙12² + 10
= 730

还有一种高级解法，就是发现10、11、12、13和14是拉钦斯基数列五元组，存在：

10² + 11² + 12² = 13² + 14² = 365

所谓“拉钦斯基数列”，指的是存在2k + 1个连续整数m₁, m₂, m₃, …, m_{2k + 1}，使得

m²₁ + m²₂ + … + m²_k_{+ 1} = m²_k_{+ 2} + … + m²_2k + m²_{2k + 1}

可以证明，对于任意正整数k，都存在使得上式成立的拉钦斯基数列。

特别地，可以构造m₁ = 2k² + k，这样我们有恒等式：

(2k² + k)² + (2k² + k + 1)² + … + (2k² + 2k)² = (2k² + 2k + 1)² + … + (2k² + 3k – 1)² + (2k² + 3k)²

恒等的证明过程略。

当k = 1时，3² + 4² = 5²，即最常见的勾股数三元组。

当k = 2时，10² + 11² + 12² = 13² + 14²，即《心算》画中的五个数字。

当k = 3时，21² + 22² + 23² + 24² = 25² + 26² + 27²。

当k = 4时，36² + 37² + 38² + 39² + 40² = 41² + 42² + 43² + 44²。

当k = 5时，55² + 56² + 57² + 58² + 59² + 60² = 61² + 62² + 63² + 64² + 65²。

…

这个数列以拉钦斯基命名，就是画中那个穿着黑色西装、白色衬衣，打着领结，认真聆听孩子答案的老师，那个在乡村小学里教算术的教授和院士。

源氏香和贝尔数

August 29, 2022August 29, 2022 Athlon_BE1 Comment

在前几天的《数学带你游千叶》^【¹^】一文中，我们简单地介绍了第64届国际数学奥林匹克竞赛（IMO）会标设计中的源氏香图案，在下面这篇文章中，我们来具体介绍一下源氏香背后的集合划分问题。

和茶道、花道类似，香道也是东方传统文化中特有的一种礼仪活动，香道讲究的是“香气的艺术”，它通过燃烧香料所产生的香气和烟气，辅以富有艺术感的香炉、香盘、香刀等道具，营造出一个清净、典雅的环境，兼具艺术美感和生活情趣。

组香是香道中具有特定规则的判别香气的仪式之一，后来慢慢地演变成为一种游戏。组香的基本规则是使用两种以上的香料，通过某种组合或搭配，打乱顺序后依次燃烧，仪式或游戏参加者根据闻到的香味对炉中香料的种类进行判别，以猜中多少为胜负。在日本的传统中，组香有很多种玩法，比如四季香、竞马香和古今香等。源氏香是组香的一种，它的名字来源于《源氏物语》。

《源氏物语》是日本古典文学的巅峰之作，它成书于11世纪初，讲述了日本平安时代光源氏一生的故事。《源氏物语》的作者紫式部是一位女性，和《红楼梦》有些类似，《源氏物语》中也有很多女性角色，紫式部用植物和花卉的名字指代这些女性角色，并且以花语来暗喻这些角色的命运。《源氏物语》中关于焚香、熏香、调香的描写场景很多，比如《梅枝》一卷中描写的竞香会：在独生女儿明石的成人礼之前，光源氏组织了一场竞香会，吩咐妻妾们利用不同的香料，配制各有风味的熏香，并邀请萤兵部卿亲王闻香品香，以香气浓淡判定胜负。

《源氏物语》书中介绍了平安时代著名的六大熏香，它们分别是：梅花、荷叶、侍从、菊花、落叶和黑方。而流传到今天的“源氏香”，则是由五种不同的香料组合而成的组香，它并没有直接出现在《源氏物语》中，源氏香只是受到《源氏物语》的启发，借用了《源氏物语》一共54卷中的第2卷到第53卷的52个卷名，作为每一种组合（香纹图）的名字。《源氏物语》的第1卷卷名“桐壺”和第54卷卷名“夢浮橋”未被借用。

第64届IMO会标上使用的香纹图是“関屋”，虽然它是源氏香中的第15个香纹图，但它来源于《源氏物语》第16卷的卷名，所以日本千叶IMO会标使用了4个相同的“関屋”，寓意着4个16，即第64届IMO。

细心的朋友可以看出，每一个源氏香的香纹图都由5根竖线和若干根横向组成，这些竖线和横线的结构和搭配来自于源氏香的玩法。

源氏香的具体玩法如下：取5种香料，每种香料分为5包，这样一共有25包香料。将这25包香料打乱顺序，从中任意取出5包，作为一次源氏香游戏的谜底。将这5包香料依次放在香炉中燃烧，每点燃一包，参加游戏的香客们必须努力辨识和记住熏香的味道。当5包香料先后烧完，香客们需要凭借记忆判断这5包香中哪些包中的香料是相同的，哪些是不同的。

从左到右，香纹图中的每一根竖线表示先后燃烧的一包香料，如果香客们认为某两包包有相同的香料，就用一根横线将这两根竖线连起来；如果认为有三包香料相同，那么就用一根横线将对应的三根竖线连起来；依此类推。举例来说，上面的“関屋”香纹图就代表着第2、3和4包香料是相同的，而第1包和第5包香料各不相同。

需要注意的是，源氏香的香纹图只和5包香料中相互之间的异同、以及出现的位置有关，而和香料本身的种类无关。比如五种香料分别为A、B、C、D和E，5个香料包依次为ABBBC、BCCCE或者ADDDB的香纹图都是“関屋”；5个香料包依次为ABCDE、BACED或者DECAB，其香纹图都是“帚木”；而5个香料包依次为AAAAA、BBBBB或者DDDDD，其香纹图都是“手習”。但5个香料包依次为ABBBC、BABBC或者BBABC的香纹图是不一样的，因为不同香料包的位置不同，它们分别对应着“関屋”、“朝顔”和“蛍”。

因此，源氏香香纹图只和由5个元素组成的集合的划分有关，而和元素本身的种类无关。源氏香香纹图只有52种，大大少于从25包香料中选取并排列5种香料的可能得到的组合数。

计算源氏香香纹图的种类数，可以先按照5包香料中相同香料包的个数进行分类，分别计算后再加和起来。

如果所有5包香料都互不相同，那么相当于从5包中选出0包相同的香料，即C(5, 0) = 1种，对应的是“帚木”。
如果5包香料中有2包相同。
1. 其它3包互不不同，那么相当于从5包中选出2包相同的香料，即C(5, 2) = 10种。它们分别为“空蝉”、“夕顔”、“花宴”、“葵”、“明石”、“少女”、“篝火”、 “藤袴”、“幻”和“紅梅”。
2. 其它3包中也有2包相同，剩下1包不同，那么相当于先从5包中选出2包相同的香料，再从剩下3包中选取2包香料，注意到2种相同的香料先被选出和后被选出的结果是相同的，需要减去一半，即C(5, 2)∙C(3, 2)/2 = 15种。它们分别为“若紫”、“花散里”、“絵合”、“松風”、“初音”、“野分”、“真木柱”、“藤裏葉”、“若菜・下”、“鈴虫”、“夕霧”、“御法”、“椎本”、“早蕨”和“浮舟”。
3. 其它3包相同，那么也相当于从5包中选出2包相同的香料，即C(5, 2) = 10种。它们分别为“賢木”、“須磨”、“玉鬘”、“胡蝶”、“行幸”、“若菜・上”、“匂宮”、“竹河”、“総角”和“蜻蛉”。
如果5包香料中有3包相同。
1. 其它2包互不相同，那么相当于从5包中选出3包相同的香料，即C(5, 3) = 10种。它们分别为“紅葉賀”、“澪標”、“蓬生”、“関屋”、“朝顔”、“蛍”、“常夏”、“柏木”、“横笛”和“東屋”。
2. 其它2包相同。这种情况和2.3相同，不重复计算。
如果5包香料中有4包相同，那么相当于从5包中选出4包相同的香料，即C(5, 4) = 5种。它们分别为“末摘花”、“薄雲”、“梅枝”、“橋姫”和“宿木”。
如果所有5包香料都相同，那么相当于从5包中选出5包相同的香料，即C(5, 5) = 1种，对应的是“手習”。

综上，源氏香香纹图的种类总共有C(5, 0) + C(5, 2) + C(5, 2)∙C(3, 2)/2 + C(5, 2) + C(5, 3) + C(5, 4) + C(5, 5) = 52种。

我们将类似于源氏香香纹图这样的问题称之为集合划分^【²^】问题，即将一个集合中的所有元素划分到若干个互不相交的子集，没有遗漏也没有重复任何一个元素，一共有多少种划分方式的问题。

对于只有1个元素的集合，因为不存在别的元素，可能的划分只有1种，即{{a}}；

对于有2个元素的集合，可能的划分有2种，即2个元素分属2个子集{{a}, {b}}和2个元素同属1个子集{{a, b}}；

对于有3个元素的集合，可能的划分有5种，即3个元素分属3个子集{{a}, {b}, {c}}，3个元素分属2个子集{{a, b}, {c}}、{{a, c}, {b}}、{{a}, {b, c}}，和3个元素同属1个子集{{a, b, c}}；

……

对于有5个元素的集合，我们从源氏香香纹图可知，可能的划分有52种。

如果元素为空集，那么显然也只有1种划分。

这样，根据集合中元素的个数，我们得到一个数列：1, 1, 2, 5, 15, 52, 203… 这个数列以英国数学家埃里克·坦普尔·贝尔（Eric Temple Bell）命名，被称为贝尔数，即B₀ = 1, B₁ = 1, B₂ = 2, B₃ = 5, B₄ = 15, B₅ = 52, B₆ = 203…

贝尔数没有通项公式，但有递推公式：

考虑有着n+1个元素的集合中的最后一个元素a_n+1。

如果它自成1个子集，那么相当于从其它n个元素中选出0个来和它组成1个子集，剩下n个元素进行划分的方式有B_n种，所以这种情况下集合的划分方式有c(n, 0)B_n种。

如果它和前n个元素中的某一个元素同属1个子集，那么相当于从其它n个元素中选出1个来和它组成1个子集，剩下n-1个元素进行划分的方式有B_n-1种，所以这种情况下集合的划分方式有c(n, 1)B_n-1种。

依此类推，即可得到上述递推公式。

现实生活中有很多集合划分问题的实例。设想有5个学生去公园划船，每一条船最多容纳5人，那么这个划船组合问题其实就是源氏香的香纹图问题，问题中的5个学生互不相同，而公园里的船都是一样的，且每条船上至少有1个学生。所以5个学生相当于集合中的元素，而每条船相当于一个子集，这个问题即有着5个元素的集合划分问题。

如果我们加上一个限制条件：每条船最多容纳3人，那么可能的集合划分有多少种？或者，公园里的船有单人艇、双人艇和4人艇3种选择，可能的集合划分又有多少种？

这些问题就留给大家解决了。

参考出处：

数学带你游千叶

August 23, 2022August 24, 2022 Athlon_BE2 Comments

在上个月第63届国际数学奥林匹克竞赛（IMO）的闭幕式上，IMO的会旗从东道主挪威队队员的手中被依次传递到了日本队队员的手中，最后接过会旗的是本届比赛获得满分金牌的日本队员沖祐也^【1】。

2023年，第64届IMO将在日本千叶举行。

会旗移交之后，闭幕式上播放了一段由日本组委会准备的宣传片。也许出于东方人的文化传统，我觉得这个宣传片制作精良，比挪威为本届IMO制作的宣传片更具文化内涵。

千叶县，日本47个一级行政区划之一，位于东京湾和太平洋之间的房总半岛上，东临太平洋，西北和东京都接壤。在中日两国的行政区划中，“县”和“市”两个概念是“倒挂的”——在日本，县属于一级行政区划，类似于中国的省，当然面积要小很多；市则属于二级行政区划，或者地方行政区划，类似于中国的市和县。千叶县毗邻东京，属于首都圈，是日本人口最为稠密、经济最为发达的地区之一，在日本一级行政区划中，千叶县的人口居第6位。千叶县境内有成田国际机场，离日本最大、位于东京的羽田国际机场也很近，交通十分便利。

明年第64届IMO的主办地，就在千叶县的千叶市。

这部时长5分半左右的宣传片以海边日出的画面开始。画面中，远景是朝霞、正欲跳出云层的太阳和无边的大海，近景是一座高大的鸟居。

鸟居，外形像个中国的牌坊，在日本，鸟居是神社特有的建筑。鸟居所形成的门，被神道教认为是凡间和神域之间的边界和通道；在很多神社附近，通过鸟居走向神社就意味着进入了神明居住的圣地。在传说中，“鸟居”的原意是“鸡站立的木架”，当时人们为了呼唤天照大神，将所有的公鸡都放在了这样的一个木架子上。当然，实际上没有哪只鸡可以飞这么高，不过两根横梁、两根支柱的结构逐渐成为了鸟居的标准结构，在日本的地图上，当你看到两横两竖的符号⛩，它往往就代表着某个神社的位置。

宣传片中的这个鸟居通常被称为“東浪見の鳥居”，它位于千叶的钓崎海岸，这是一条狭长的、面向太平洋的海岸，从字面上不难理解，在这个鸟居附近可以向东眺望大海的波涛。钓崎海岸是日本久负盛名的冲浪胜地，每年都能吸引很多冲浪爱好者。2021年，东京奥运会的冲浪比赛就在此举行^【²^】。IMO日本组委会将宣传片的第一幅画面安排在钓崎海岸，颇有将两个奥林匹克联系在一起的意味。

第二个画面来自于位于千叶松户的户定邸历史馆^【³^】，这个历史馆曾经是德川家族的宅邸，德川家族担任幕府将军长达260余年，是日本历史上最为重要的政治家族。在松户的这个宅邸，大约是19世纪后期德川家族的旧居，画面中是宅邸的一个贮藏室，窗口带有铁栅栏，据说在19世纪后期，从这个窗口就可以远眺富士山。当然，现在建筑多了，从窗口望去只能看到院子里的花草树木。

宣传片紧接着展现了日本国旗，并在其中添加了几个互相相切、大小不同的圆。大小圆互相相切，求圆的半径，这样的问题常常出现在日本古代神社的算额和绘马上，我们曾经在《一休和算额》^【⁴^】以及《费脑子的绘马》^【⁵^】两篇文章中对算额问题做过介绍。

接下来，映入眼帘的是位于千叶县成田山的新胜寺^【⁶^】。第一个画面是新胜寺的大本堂。和神道教的神社不同，新胜寺是一座佛教寺院，始建于940年，其后一直没有什么名气，直到17世纪初德川家康迁都到江户，并且皈依佛教，这才使得这座寺庙慢慢发展起来。新胜寺现存的建筑大多建于19世纪后期，现在的大本堂则建于1968年，属于仿古建筑了。

新胜寺仁王桥的两侧各有近乎正方形的放生池，池中央有乌龟形状的岩石，叫做“龟岩”，龟岩露出水面，形成了一个小岛。放生池里有很多乌龟，天气好的时候，乌龟们爬到龟岩上晒太阳，构成了“龟上有龟”的景象。

从放生池左侧的小路往上走，有一座供奉“不动明王”的小寺庙，据说这个小寺庙反复修葺过很多次，修一次坏一次，坏一次修一次，所以叫做“毀れ不動堂”。小路的旁边，有一把利剑的雕塑。

而另一边，则有青铜塑就的狮子蹲在一个石座上。

接着，画面转向了现代艺术，这是teamLab^【⁷^】在位于东京森大厦的数字艺术美术馆中举行的灯光艺术秀。TeamLab是一个于2001年在东京成立的国际性艺术团体，由艺术家、程序员、工程师、动画师、数学家和建筑师组成，他们运用数字技术创作艺术品。除了在东京，teamLab在上海也建有美术馆，地址在原世博园浦西部分。

这个作品叫做“灯之森林”，当有人站在一个灯笼附近不动时，这个灯笼会自动变换颜色，发出和颜色相应的音调，并且不断地将颜色传递给邻近的其它灯笼。

紧接着，宣传片展示的是“源氏香”^【⁸^】，这是一种五种不同芬芳木料随机组成的混合香，得名于日本历史上最著名的文学作品《源氏物语》，目前在宴会场合、温泉浴、以及民宿中，还可以经常见到源氏香的使用。

随后，画面中是一片水稻田，远景中有一列火车从左向右行驶。这个画面来自于小凑铁路^【⁹^】。小凑铁路是千叶县市原市与夷隅郡大多喜町之间的一段铁路，它是一条仍然采用内燃机车的单轨铁路，因为铁路两旁是一片田园风光，车站大多陈旧而古朴，所以这条线路成了很多影视剧的取景地，乘坐有着红白两色车身的单节火车也成了网红们必须打卡的节目。

下一个画面是东京浅草寺^【¹⁰^】的解签盒。日本人去寺庙除了参拜和供奉之外，往往还有求签，求签价钱并不贵，一般100日元即可。求签之后需要解签，画面中即浅草寺的解签盒，一共有100签，每支签相应地有一首签诗，按照凶吉分为七档，分别为：凶，末小吉，末吉，小吉，半吉，吉，大吉——你看看，菩萨和比利时的中小学老师一样，都以鼓励为主！

画面中是第八十七签，签运大吉，签诗云：凿石方逢玉，淘沙始见金；青霄终有路，只恐不坚心。对于参加IMO的选手来说，要获得好成绩也无外乎需要意志坚定、勤奋努力吧，否则也不能获得成功。

接下来，是位于千叶县鸭川的大山千枚田^【¹¹^】，这是一座完全依靠雨水灌溉的梯田，梯田所在斜坡东西长约为600米，南北宽约为150米，海拔落差约为60米，分为大约30层大大小小的稻田375个。

宣传片的第一部分由一幅集齐了多个日本元素的传统绘画作为结尾。画面中有红日、富士山、海水、樱花、仙鹤等传统的元素，画面右侧还加上了部分东京元素。个人觉得有些画蛇添足了。

宣传画的第二部分进入IMO的正题，开始展示与数学有关的内容。首先仍然是源氏香，因为第64届IMO的会标就是由4个相同的源氏香纹图组成。

每一个源氏香纹图中有五根竖线，每一根竖线表示一根香木，如果香木属于同一种，就用横线将它们连接起来。所以，对于每一个源氏香纹图来说，它可以由同一种的5根香木组成（如上图第一行第一个香纹图所示），可以由5种香木各1根组成（如上图第一行最后一个香纹图所示），也可以由3根相同香木而另2根香木各不同组成（如上图最后一行第四个香纹图所示）…… 源氏香纹图一共由52种不同的组合，为什么？这个问题交给读者朋友们了，你们可以将自己的解答写在评论中。

介绍完会标后，画面中出现的是位于千叶市中心的亥鼻城^【¹²^】。亥鼻城被认为是千叶市的发祥地，始建于12世纪初。因为在正方形的城堡前还建有一个突出的、小型的建筑，形如猪的鼻子，所以得名为“亥鼻城”。

接下来是介绍东京的内容。第一个画面是东京车站。东京车站于1914年投入使用，是日本多条铁路干线和东京地铁的联结枢纽。

然后是著名的涩谷路口。涩谷路口被誉为世界上最著名的路口之一，它以人流量密集闻名。涩谷路口采取行人全向十字路口，即当行人穿越灯亮起时，所有方向的机动车道都显示红灯，而行人可以自由地向任何一个方向穿行，这个情景相信对于熟悉日剧的朋友们不会感到陌生。

然后是东京的竹下通街道。竹下通位于东京原宿，是一条以服装、饰品和食品为主的步行商业街，它也是最受年轻人和游客欢迎的东京街区之一。

再然后是浅草寺的大门。浅草寺全面金龙山浅草寺，供奉的是观世音菩萨，画面中是浅草寺的雷门，门下挂着一个大灯笼，上书“雷门”二字。

接下来镜头重新转回千叶。画面上是千叶县幕张国际展览中心^【¹³^】，它占地面积21万平方米，是融国际展览厅、国际会议室和幕张活动厅于一体的日本最著名的会展场所之一。

然后是千叶市著名的悬挂式单轨电车^【¹⁴^】。悬挂式单轨列车有着轨道曲线半径小，占用地面空间少，拆迁工程量小，建设成本低等特点。千叶市有着世界上最长的悬挂式单轨电车路线。

这个画面是钓崎海岸附近的航拍，左边是太平洋。宣传片以这个画面结束了第二部分。

宣传片的第三部分开始介绍日本的数学家。这个铜像是新胜寺毀れ不動堂下的矜羯羅童子，他是不动明王八大童子之一。

这个画面是新胜寺仁王桥后狮子岩上的一只狮子。

首先介绍的是17世纪日本的数学家关孝和^【¹⁵^】，关孝和被日本人奉为“算圣”，他在代数方程组求解和行列式理论方面有着突出的贡献，另外他还研究了圆周率的计算。宣传片中将关孝和称为世界上最早确定圆周率的人，这个……呵呵。

关孝和也贡献了不少算额问题，上图是其中的一个：已知6个直径为7的蓝色圆相切于红色圆内，绿色圆直径是蓝色圆的两倍，黄色圆则分别与绿色圆、蓝色圆和红色圆相切。求黄色圆的直径。这个问题同样留给读者朋友们。

接下来，宣传片介绍了日本的三位菲尔茨奖得主：小平邦彦，广中平祐和森重文，他们三人在代数几何方面都取得了杰出的成果，被认为是代数几何日本流派的代表性人物。

宣传片随即转向数学科普，介绍了东京理科大学教授秋山仁和1996年IMO金牌得主、钢琴家和数学教育工作者中岛幸子，中岛幸子的斜杠才能值得另写一篇文章来介绍。

宣传片着重介绍了东京理科大学的数学体验广场^【¹⁶^】。在这里，学生们可以通过特定的道具和装置学习到不少数学知识，上图是正态分布的演示。

最速下降实验。直线、圆弧、抛物线和摆线，哪条轨道上的小球先到达底部？

如何使得拥有正方形车轮的小车不会上下颠簸？这时你需要一个有着悬链线形状凸起的地面。

从椭圆的一个焦点将球击出，经过椭圆形状的桌边反弹，必然可以击中位于另一焦点上的另一个小球。

然后，是第64届IMO日本组委会主席藤田岳彦的致辞。

这个画面中的形状是一种阿基米德多面体^【17】，它由若干个正三角形、正方形和正五边形组成。我们熟知的足球，也是一种阿基米德多面体。

宣传片最后以东京、千叶的几个画面结束。上图是涩谷路口。

这个画面是浅草寺的求签处，求一支签100日元。

千叶的海滩。

新胜寺的仁王门。门口的大灯笼上是“鱼市”两个大字，因为当年寺院翻新时当地的鱼行老板们捐了不少钱。

大山千枚田。

千叶的海滩。

最后是2023年第64届IMO的会标，以此结束我们的数学之旅和千叶之旅。

参考出处：

蔡伯喈和凡尔赛

October 18, 2021 Athlon_BELeave a comment

院里种了些菜，我本不大在意收成，以娱乐为主。

前几年夏天酷热，经常十来天半个月也不见半点雨星，因为家里没有雨水池，自来水又十分精贵，所以主人家十分佛系，靠天种菜，顺其自然；菜虽长得稀稀拉拉，但也省了很多除草除虫的活儿。阿弥陀佛，善哉善哉。

今年的天气有些“复古”，雨量充沛，气温适宜。秋播的一批杂蔬早早地露了头，趁着寒露之前争先恐后地往上窜，这十来平米的地界里竟也有了几分欣欣向荣的景象。这不，为了保持社交距离，间了几批菜苗，佛系菜农似乎赶上了好年景。

随之而来的，当然也有幸福的烦恼。天气适宜，菜长得快，草长得更快；雨水多，蜗牛鼻涕虫繁殖得也多。除草和除虫成了农业部工作的重中之重，在机械化普及之前，这些活儿还得菜农手工完成，要不然，两天不见，菜苗真的可能再也看不见了。

有朋友说，你这是凡尔赛，太凡尔赛了。

我心里哑然一笑：不然呢？请个蔡伯喈？

蔡伯喈，是元曲《琵琶记》中的主角，其原型是东汉末年的名士蔡邕，蔡文姬的父亲。擅长文章、绘画和书法的蔡邕成为菜农的守护神，完全源自一个笑话。

《太平广记》卷四百九十七记载了一个来源于《国史补》的小故事。

江西有驿官以干事自任，白刺史，驿已理，请一阅之。乃往。初一室为酒库，诸醢毕熟。其外画神，问曰：“何也？”曰：“杜康。”刺史曰：“功有余也。”又一室曰茶库，诸茗毕贮，复有神，问何也？曰：“陆鸿渐。”刺史益喜。又一室曰菹库，诸茹毕备，复有神。问何神也？曰：“蔡伯喈。”刺史大笑曰：“君误矣。”

翻成白话文，意思就是：江西有个驿官自认为很能干能办事，有一次他报告刺史大人，说驿站已经整理准备完毕，请大人前来视察。刺史于是去了驿站，他首先见到的房间是酒库，各种肉酱都已经做熟，酒库外面画了一个神，刺史问：“这是谁？”驿官回答：“是杜康。”刺史说：“你功劳很大！”又看到一个房间，是茶库，里面各种茶叶都贮存好了，也有一个神，刺史问是谁，驿官回答：“是陆鸿渐。”刺史越发高兴了。第三个看到的是腌菜库，各种蔬菜都准备齐全，外面也画着神。问是什么神，驿官回答：“是蔡伯喈。”刺史哈哈大笑，说：“这你就搞错啦。”

酿酒者以杜康为祖师爷，茶农以陆羽为茶圣，都还说得过去，这个驿官把蔡伯喈画在蔬菜储藏室的外面，大概是因为“蔡邕”和“菜佣”谐音，于是将他拿来当作了菜神。有意思的是，被冠以腌菜之神名号的，除了蔡伯喈，还有颜真卿。颜真卿官至吏部尚书、太子太师，封鲁郡公，人称“颜鲁公”，可能正是因为“盐卤公”这个封号，颜真卿也莫名其妙地中枪，和腌菜、酱菜搭上了关系。

呜呼！孰不知几百年后说谐音梗是要扣钱的！

清代的周召在他的《双桥随笔》中评论道：经过多次抄写，“乌”和“焉”字都能被误为“马”字，年代久远传下来、可信度不高的东西大多因为这个原因；那些平庸狂妄而无知的人担心事情做不好，为了讨好于鬼神，以祈求庇护，并不会去考虑事情原来的真伪。

行业迷信往往起源于这种张冠李戴，只要是名人，随手拉一个过来，经过以讹传讹，经年累月逐渐成形，最后衍生出来一个八杆子打不着的行业守护神。笑话归笑话，其成因的背后倒也不乏群体和社会行为基础。

在西方，行业守护神大多来自于古希腊和古罗马神话中，比如狄俄倪索斯是酒神，赫菲斯托斯是锻造和工匠的守护神，赫耳墨斯是旅行者和商人的守护神，他同时还保护小偷和骗子——此处并没有不尊重爱马仕的意思。

和农业丰产有关的神则是宙斯的姐姐得墨忒耳，她给予大地生机，教授人类耕种。和植物有关的神祗还有阿多尼斯和罗马神话里的维尔图努斯。春神阿多尼斯是一个英俊的青年男子，他负责植物的死而复生，四季轮回，周而复始。秋神维尔图努斯的工作内容和阿多尼斯类似，不过他的形象有些怪异，五官和身子由各种蔬菜和水果组成。

在近现代的西方文化中，爱尔兰的圣菲亚克（Saint Fiacre）大概是最受欢迎的花园守护圣人。

菲亚克很可能是爱尔兰的一位王子，成年后成为了一名修道士。公元615年左右，菲亚克来到了法国，在巴黎附近的莫城（Meaux）找到了一块森林深处的荒地落下了脚。在那里，他建造了一个小木屋，开出了一片地种植了许多蔬菜和草药，以他独特的园艺疗法治疗病人。

随着菲亚克的名气越来越大，越来越多的朝圣者和病人纷至沓来，这位隐士的木屋和菜园显然不够用了。菲亚克于是向当地的主教提出申请，他需要更多的土地来扩大菜园并建造一所教堂。主教答应他，在第二天早上之前，他能用铲子翻开多少地，主教就给他多少地。在夜色中，菲亚克拿着铲子尝试了几次，很快他就意识到这个任务是徒劳。于是他放下了铲子，回到小木屋开始冥想。

第二天，当菲亚克走出小木屋时，他发现周围几英里的土地都被翻开了。一个路人目睹了这个事件，她跑到主教面前，指责菲亚克使用巫术。然而，主教到达现场后，宣布这是一个神迹，菲亚克一定是一个圣人。

于是，菲亚克在这里建起了一个大教堂，他用菜园里的蔬菜和草药，治愈了越来越多的病人，直到他去世。除了因为种植蔬菜和草药而成为了园丁的守护圣人以外，传说中菲亚克还擅长治疗痔疮以及不孕不育，所以每年都有不少患者来莫城朝圣和祈福。

到了十七世纪，在菲亚克教堂的附近建起了一座本笃会的修道院，圣菲亚克的遗体就保存在这里。因为法国国王路易十三的王后安妮长时间没有生育，法王路易十三也曾经来此参观圣菲亚克的墓地，说来也巧，在此不久后，王后安娜就生下了一个健康的儿子，即未来的路易十四。

路易十四，自号“太阳王”，是波旁王朝文治武功最为显赫的君主，他把波旁王朝带入了鼎盛时期。另一方面，路易十四的生活也极尽奢靡，凡尔赛宫就是在他的示意下兴建的。凡尔赛宫位于法国巴黎西南郊外的凡尔赛，于1682年至1789年期间建成，有着寝宫、花园、美术馆、辩论厅、剧场和会议室等诸多功能，这座巴洛克风格的宫殿在外观和装饰上以金色、蓝色和粉橘色为主基调，倾其所能表现“绚烂豪华的奢侈美”。

有意思的是，不知道是为了保证宴会上食材的新鲜，还是想纪念冥冥中赐予了他生命的圣菲亚克，路易十四还委任建筑和园艺专家坎贝蒂尼（Jean-Baptiste La Quintinie）在凡尔赛宫旁边建立起了一个国王菜园（Potager du Roi）。国王菜园占地9公顷左右，其正中位置是一个池塘，围绕着池塘的方形菜园被分为16个部分，池塘的水用来浇灌菜园，菜园的周边建有石墙，主要起防风的作用。国王菜园里种植着路易十四喜欢的土豆、橘子、草莓、凤梨和香菜等蔬果，保证了这位“太阳王”每天都有新鲜的水果蔬菜享用。

如今，这个国王菜园由法国高等景观学校经营，除了支持教学活动以外，它每年仍然可以生产超过50吨的水果和30吨的蔬菜。

所以说，在凡尔赛种菜，那才是真的凡尔赛，太凡尔赛了！

懂数学的音乐家才是生命力顽强的昆虫

October 8, 2021 Athlon_BELeave a comment

那一年，唐纳德·川普还在CNN上为民主党摇旗呐喊，巴拉克·奥巴马还是一个默默无闻的州议员，约翰·克里正在为登上总统宝座而四处奔走。巨大草坪上的支持者们正在等候着这位民主党候选人的竞选演讲，不过，在克里出现之前，他们等来的是一群呱噪的“音乐家”。

没错，它们就是“不可语冰”的蝉。只不过，这一次它们并不满足于挂在树上遥相呼应，而是成群结队地飞上草坪的上空，轰鸣着从人们的头顶掠过，似乎它们才是这个国家的真正主宰。

这种蝉的学名叫做Brood X （10号群），和普通的蝉不同，它们是一种周期蝉（Periodical cicadas, Magicicada）——每隔17年，数十亿只Brood X才从地下巢穴里爬出来，展开翅膀，席卷美国东部地区。

今年，共和党的前总统川普已经离任，奥巴马写的回忆录大卖，克里则变成了拜登的气候问题特使。在高温和雨水的帮助下，数十亿只Brood X再一次从地下涌出，爬上枝头振翅而鸣，提醒着从田纳西到纽约的居民们：沧海桑田之下，它们才是唯一不变的永恒。

这些周期蝉为什么要蛰伏在地下多年？它们蛰伏的周期为什么是17年而不是16年或者更短时间？

普通的蝉幼年期生活在土中，等到春天，它们就爬出地面，顺着树干往上爬，然后抓住树皮，吸食养分；到了初夏，这些蝉蜕去蝉壳，长出翅膀，变成成虫，在树枝上高歌求偶。周期蝉则不一样，它们的幼虫要在地下生活若干年，根据品种的不同，这个时间可能是3年，可能是5年，也可能是13年或者17年。这些数字有一个共同点，它们都是质数。

据马里兰大学的教授迈克尔·劳普介绍，周期蝉的长时间蛰伏，以及以质数为蛰伏年数的特点，都是它们在长期进化过程中形成的生存策略。

首先，周期蝉最早出现于180万年前，那时的北美气温较低，而成年蝉需要较高的温度才能成活，所以周期蝉逐渐适应了较长时间在地下的生活，等到气候条件合适才爬出地面。

其次，周期蝉按照一定的周期、而不是每年都爬出地面，还因为所谓的捕食者饱和效应（predator satiation）。捕食者饱和效应，简单来说，就是猎物以极大数目群体出现，使得它的天敌和其它捕食者食物饱和，从而必然有一部分猎物可以从自然界的食物链上逃逸生存，继续繁衍下一代。周期蝉若干年才爬出地面一次，每次爬出数量都是惊人的几十亿只，所以即便碰到天敌，也不可能一下子被全吃光。如果周期蝉和普通蝉一样，也是一年出现一次，每次数量都较少，那么这些蝉很有可能碰到异常的气候被冻死，或者碰到饥肠辘辘的天敌被吃掉，整个物种遭到灭绝的概率就要大很多。

第三，这个周期为什么是质数？

不得不说这是奇妙的，我不好说这个数字来自于长期的自然选择，抑或是拨动地球旋转的那只手，但在数学上，质数的周期一定可以进一步提高周期蝉的生存概率。

假设周期蝉有两种天敌X和Y，每种天敌的物种规模都有着自己的周期性，即我们口头上常说的“大小年”。假设天敌X的物种规模周期为3年，天敌Y的物种规模周期为4年，也就是说每隔3年，天敌X的数量就达到一次高峰；每隔4年，天敌Y的数量也到达一次高峰。

假设周期蝉的蛰伏周期为16年，那么如果不巧的话，它们每次都会碰到天敌Y的“大年”，从而被吃掉更多。假设周期蝉的蛰伏周期为12年，那么它们的命运将更悲惨——它们不仅可能每次都碰到天敌Y的大年，还可能每次都同时碰到天敌X的大年。这可是很可能被一次性KO团灭的节奏啊！

现在，周期蝉的蛰伏周期为17年，哪怕不巧碰到了一次天敌的大年，但下一次爬出地面时一定不会再次碰到这个天敌的大年，因为17是质数，不能被3或者4整除。理论上，蛰伏周期为17年的周期蝉碰到天敌X的大年，需要17 × 3 = 51年才出现一次，碰到天敌Y的大年需要17 × 4 = 68年，而同时碰到两种天敌的大年则需要漫长的17 × 3 × 4 = 204年！

孟菲斯大学的学者曾经对周期蝉遭遇冷夏的情形进行过模拟，假设在1500年的时间中，每过50年就会出现一次气温很低的夏天，那么蛰伏周期为17年的周期蝉的存活率仍然有96%，蛰伏周期为11年的周期蝉存活率降到了51%，而蛰伏周期为7年的周期蝉的存活率将只有7%。

还剩下一个未解之谜，那就是周期蝉的计时方法。

17年，对于人类来说都是一个漫长的时间，更何况地下巢穴中暗无天日，无法知道日升日落、寒来暑往，这些蝉如何能够准确地计算出已过17年、而且在几天之内不约而同地钻出地面呢？对此科学家有不同的猜测，有人认为周期蝉是通过冬眠的次数来计数的，还有人认为周期蝉利用了树根汁液中不同的化学成分，或者是土壤的温度变化。

从2004年到2021年，Brood X如期而至，下一次再看到这些聪明的昆虫们将是2038年。

不过，有迹象表明其它群落的周期蝉已经开始出现周期紊乱，因为气候变化、土壤温度变高，这些群落中有部分周期蝉提早离开了地面。

所以，光懂得数学还不够，如果没有掌握气候变化，这些音乐家们恐怕将碰到大麻烦。

一道简单的语奥题

November 16, 2020November 19, 2022 Athlon_BELeave a comment

自从被吴老师种草语言学奥林匹克，我一直没有真正完整地做过一道题。下图是网传的一道简单的语奥问题，前两天正好有时间，我体会了一把语奥的乐趣。

以下是我的解答思路，不一定符合语奥的规范，如果其中存在逻辑不完备甚至错误，还望有心人帮我指出。

按照我粗浅的理解，语奥问题的核心在于从给出的对象语言和参考语言一一对应的例子出发，建立起自洽的对象语言的词法或者语法规则。这些“建立”起来的规则不一定符合现实中对象语言真正的词法和语法，但至少应该可以“自圆其说”地解释题目中给出的例子。

在上面这道题中，对象语言是我们不懂的桑塔利语，参考语言我们都懂的中文，题目中给出了9个中文和桑塔利语一一对应的例句。为了便于后面的说明，我给每个例句都加上了编号。

看到例句中的桑塔利语，第一感觉是它在句子的书写上并不存在明显的单词分隔，这一点和中文相似，而和英语等西方语言不同，这给我们的理解带来了难度。我感觉这道题的关键在于如何将桑塔利语的句子正确地划分成单词和相应的句子成分，即语义识别中常说的“分词”。

我从例句的中文解释出发，发现这些例句基本上涉及到两类单词：代词和动词。代词包括“我”、“你”、“他”以及他们的复数形式，动词包括“看”、“打”，注意到这两个动词都是及物动词，例句中还包括了不同的时态和否定形式，所以综合起来需要注意的一共有6个单词或语法形态：

人称代词“我”、“你”、“他”
人称代词的复数形式“我们”、“你们”、“他们”
人称代词及其复数形式的主格和宾格形式
动词原形“看”、“打”
动词的完成时“看过”、“打过”
动词的肯定和否定形式及句子的语序

回到例句中的桑塔利语部分。可以发现，并不是每个例句都没有任何分隔，例句(6)-(8)中都存在一个空格，再看看对应的中文意思，可以发现这4个例句都是否定句式，而不存在空格的5个例句(1)-(5)都是肯定句式。

因此我得到了第一个自洽的规则：

规则F. 否定句中存在一个空格。

同时，我还观察到这4个否定形式的例句都以ba开头，以a结尾，这是不是也可以成为某条规则，因为还涉及到单词的划分，所以暂时不能确定。另外，否定句的语序显然和肯定句不同，但具体的各个语法成分的顺序暂时也不能确定。

再看看两个动词“看”和“打”。和“看”有关的是例句(1)、(3)、(5)、(6)和(9)，和“打”有关的是(2)、(4)、(7)和(8)，先忽略完成时和否定形式，取以上例句的“最大公约数”，可以发现“看”的词根应该是nεl，“打”的词根应该是dal。其中n表示例句(1)中的第一个桑塔利语字母，因为打不出来，用n来代替。

规则D. 动词“看”的原形词根是nεl，动词“打”的原形词根是dal。

有了动词词根了，再看看表示完成态的例句(2)、(5)、(6)和(8)，不难发现和其它例句相比，它们在词根后面多了一个k。

例句(2) 、(5)和(8)的词根后都出现了ke，但例句(6)的词根后面是ki，所以基于规则的完备性，这条规则应该为：

规则E. 动词的完成时态即将原形词根加上k，即“看过” = nεlk，“打过” = dalk。

和动词有关的3条规则基本成型。下面来看看代词部分。

代词部分的规律没有动词部分那么显著，尤其对于复数形式，似乎找不到明显的后缀表示复数。

为了找到突破口，我把目光集中在主宾格上代词相同的例句(5)。这里主语和宾语都是“他们”，根据动词规则，已知nεlk = “看过”，因此剩下的部分et’koako应该表示主语和宾语的“他们”。进一步寻找“同类项”，可以猜测ko和“他们”有关，et’意思不明，两个ko之间的a可能是有语法意义的小词。

再看看和“他们”有关的例句(7)和(8)，恰好在(7)中“他们”作宾语，而在(8)中“他们”作主语。在(7)中同样存在et’，而在(8)中只有ko。因此，结合例句(5)，我推断“他们”的主格是ko，宾格是et’ko。

这是我获得的一个很大的突破！

因为接下来，我似乎可以确定肯定句和否定句的词序。对于肯定句(5)，

nεl | k | et’ko | a | ko = 看 | 过 | 他们（宾） | a | 他们（主）

对于否定句(8)，

ba | ko | （空格） | dal | k | et’pε | a = ba | 他们（主） | （表否定的空格） | 打 | 过 | 你们（宾） | a

因此，完整的词序规则就是

规则F. 肯定句式：谓语（动词原形） + （完成态k）+ 宾语 + a + 主语

规则F. 否定句式：ba + 主语 + 空格 + 谓语（动词原形） + （完成态k）+ 宾语 + a

否定句和肯定句相比，相当于将句末的主语提前到句首，然后在主语前加上ba，主语后加上空格。

有了确定的词序规则F，就可以通过例句对号入座，一一确定各个代词、代词的复数、以及它们的主格和宾格了。我将规则C总结如下：

我，n（主格），idin（宾格）

我们，lε（主格）

你，m（主格），et’me（宾格）

你们，pε（主格），et’pε（宾格）

他，e（主格），ede（宾格）

他们，ko（主格），et’ko（宾格）

现在还余下一个问题：“我们”的宾格没有在例句中出现过，却出现在题目的任务二中。如何确定这个宾格呢？

在上面总结的规则C中，主格到宾格的变化并没有什么显著的规律。不过如果只观察复数形式，“你们”的主格pε前面加上et’后得到宾格et’pε，“他们”的主格ko前面加上et’后得到宾格et’ko。所以我大胆推测“我们”的宾格也是主格lε前面加上et’，即et’lε。

至此，我们就可以完成题目中的两个任务了。

一、翻译成汉语。

bae nεlkedea = 他没有看过他

nεledeam = 你看他

dalkidinako = 他们打过我

dalet’koalε = 我们打他们

二、翻译成桑塔利语。

他打过他 = dalkedeae

他们没有看我 = bako nεlidina

你们没有看我们 = bapε nεlet’lεa

我没有打过你 = ban dalket’mea

一休和算额

November 11, 2020 Athlon_BE1 Comment

《聪明的一休》是不少75后、80后童年的回忆，剧中一休这位安国寺的小和尚，不仅机敏过人，还拥有满满的正义感和挑战强权的勇气，他常常用其聪明智慧惩恶扬善，为穷苦民众打抱不平，讽刺和惩罚那些高高在上的将军武士和为富不仁的商人老板。

在第22集中，一直以来就为难一休的桔梗店老板和弥生小姐给安国寺的小和尚们出了一道难题：让他们数清楚一整座山上一共有多少棵树。最先接受任务的悟念小和尚老老实实地一棵一棵数，一会儿就数懵圈了，不知何时才能数清楚这几千棵树。赶来帮忙的一休认为大家分头数树并不是一个好办法，他找到了正确的办法：预先数好几千条草绳，在每根树上都系上一根，当所有树上都被系上草绳后，再数一数最后剩下多少根草绳，就可以得到树木的准确数量了。

一休的这个办法很实用，也不算难，拥有一定生活经历和常识的人应该不难想到。不过，看上去简简单单的一根草绳一棵树的规则却蕴含着数学中基本的几种函数映射关系。

在数学定义中，从定义域到值域的对应关系不同，产生了不同的映射关系。如果定义域中不同的元素都映射到值域中不同的元素，这种映射关系叫做单射（injection）。如果值域中的每一个元素在定义域中都至少存在一个元素与之对应，那么这种映射关系叫做满射（surjection）。对于既是单射、又是满射的映射，我们称之为双射（bijection）。

一休的办法，实际上就是在树木集合和草绳集合之间建立起了一个双射关系，将不容易数清楚的树木集合元素个数转化成了容易数清楚的草绳集合元素个数——你看看，本来简简单单的人话，用数学语言来说就成了天书。

让我们回到人话。

寺庙和僧侣，在古代往往代表着科学知识的传播场所和传播者。在中世纪的西方，修道院是收藏各种书籍和著作唯一的场所，修道士们通过抄写、誊写手卷，成为那个时代掌握最多基本科学知识的群体。在日本，也有类似的现象。虽然，动画片中的一休小和尚更多地是个文学形象，历史上的一休生活在15世纪，他精通于汉诗、书法和绘画，在数学或者其它科学方面并没有什么过人之处。但是，神社和佛寺在古代日本仍然是人们交流数学问题的主要场所。

在西方科学知识传播到来之前，日本在中国文化的影响下发展出了自己的一套数学理论和应用，其中包括代数、几何的基本原理，甚至在行列式和微积分方面都有不错的成果，这一套日本传统的数学被称之为“和算”。

和和歌、俳句这样的文学形式相比，和算在很长的一段历史时期中都属于日本文化中寂寂无闻的边缘学科。直到江户时代后期，和算才逐渐得到人们的青睐，不过它仍旧没能成为当时主流教育中的重要内容。和算的流传和研究仍然以私塾和家庭教育为主，对和算感兴趣的人群主要以庶民和低级别的武士为主，包括一些生活较为富庶的农民和市民，他们把和算当成一种技能，如同围棋、茶道、花道和剑术一样，加以研习和传承。

因为和算并没有进入“官学”的范畴，同时研习和算的人的最初目的是以自己较高的数学能力向神佛祈愿，感恩神佛的恩赐，所以在江户时代的后期就出现了一种向寺庙供奉算额的特殊现象。所谓算额，是一种特殊的绘马，人们在木板上写上数学问题，并给出自己研究出来的解答，然后将这些木板供奉给寺庙。在寺庙中，这些算额被悬挂起来，一方面作为供奉者对神佛的感恩，另一方面也成为了供奉者数学知识和能力的一种展现，到访寺庙的和算爱好者通过这种方式进行交流，互相观摩对方的算额，思考自己能否给出答案或者更好的思路。向寺庙供奉算额这种做法一直延续到明治时期，直到明治维新后西方科学文化的大量涌入，算额才逐渐退出历史舞台，成为一种纯粹的传统和风俗。

京都八坂神社的算额。

昭和年间山梨大学的和算爱好者制作的算额。

富山县射水市放生津八幡宫的算额纪念品。

在日本算额的题目中，几何题要多于代数题，可能是因为圆形和多边形能够更多地呈现出几何形状的美，具有更大的吸引力。典型的算额几何问题一般要求计算边长或者圆的半径，题目中多出现圆和切线、或者相切的多个圆。

以下，以两道算额题为例。

下面这个算额于1855年供奉在饭田市鼎町的一色神社。

题目翻译成数学语言即：在直角三角形ABC中，线段DE、EF、IH和HG将三角形ABC分为面积相等的四个部分：直角三角形AED，直角三角形EBF，矩形IHGC和多边形DEFGHI。已知|AC| = 96，|BC| = 110，|DI| = |FG|，求|DI|。

这道题不难，由面积比例可知|DC| = 48，|FC| = 55，再解一个一元二次方程就可以得到答案：|DI| = |FG| = 15。

下面这个立体几何的算额要难一些，它出现于1798年，年代比上面那块算额反而更早一些。

题目翻译成数学语言即：有30个半径相同的小球围绕着1个大球，所有小球都和大球相切，且每一个小球也和其它4个小球相切，问大球和小球的半径比是多少。

这个题目颇有些化学分子模型的意味，有人甚至用串珠做出了实物^【¹^】，实物中30个小木珠互相相切，里面的大球省略。

解答此题的关键在于发现其实存在着若干平面，30个小球中某10个小球和大球的球心都位于该平面上；如下图所示，围绕在黄色大球“赤道”外面的10个小球被涂上了蓝色，它们的球心和大球的球心都位于大球的某个“赤道平面”上。这样，这道立体几何的题目就被转化成为一道平面几何的题目。

简单地，原题变成了1个大圆外有10个小圆，所有小圆和大圆都相切，而且小圆也和相邻的2个小圆相切。考察大圆和某两个相邻小圆的关系，我们可以得到一个顶角为36度、腰长为R+r，底长为2r的等腰三角形，从而解出大圆和小圆的半径之比：R/r = 1/sin(18°) – 1 = √5。

和算和算额虽然已经成为了历史，但在日本现代的中小学数学教育中仍然存在一席之地。一些中小学数学教师在教学中有计划地组织学生参观当地的神社和寺庙，对里面遗存的算额问题进行解读和研究，这些研究不基于课本上所教授的现代数学知识，而是更着重于学生通过自己的思考和分析，以“复古”的方式得到答案。同时，教师也鼓励学生们构造一些数学问题，自己制作出新的算额供奉于神社和寺庙中。当然，这种做法的目的不再是祈求神佛的恩赐，而是努力将这个风俗在日本传统文化中保存和传承下去。

参考出处：

https://teacherchyiling.pixnet.net/blog/post/34203313
在以下网址，可以找到日本各地寺庙算额电子化后的图像：http://www.wasan.jp/
更多关于和算和算额的介绍：http://shc2000.sjtu.edu.cn/20111112/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E7%A5%9E%E7%A4%BE%E7%AE%97%E9%A2%9D.pdf